Каталог книг:


Симметрия в математике - Содержание - Группы преобразований и их инварианты

Группы преобразований и их инварианты

Обозначим через некоторую совокупность интересующих нас свойств множества X, а через G - совокупность всех преобразований множества X, сохраняющих эти свойства .

Пример 1. Если X - это плоскость, - расстояния между точками плоскости, то G состоит из движений плоскости: поворотов, параллельных переносов, симметрий, а также их всевозможных произведений (композиций).

Пример 2. (К задаче 3.) Пусть X - плоскость, а в качестве возьмем расстояния между точками и данный правильный n-угольник A1A2... An. Тогда G - совокупность движений плоскости, оставляющих на месте этот n-угольник, - состоит из n поворотов (включая поворот на нулевой угол, т.е. тождественное преобразование) и n осевых симметрий. (G называется группой самосовмещений правильного n-угольника.)

Пример 3. (К задаче 4.) Пусть X={x,y,z} - множество из трех элементов - формальных символов, - вид системы уравнений в условии задачи. Тогда, как мы уже выяснили, G - совокупность преобразований, сохраняющих вид системы, - состоит из перестановок элементов множества X.

Пример 4. Заменим систему уравнений в задаче 4 на такую:

(новую задачу обозначим 4'). Как видим, уже не все перестановки элементов множества X сохраняют вид новой системы: G состоит из перестановки x ↔ y и тождественной перестановки.

Отметим некоторые общие свойства совокупности G.

1o. Если g1 ∈ G и g2 ∈ G, то g1 g2 ∈ G.

2o. e ∈ G.

3o. Если g ∈ G, то g -1 ∈ G.

Дадим теперь важное определение.

Группой преобразований называется совокупность G преобразований множества X, удовлетворяющая условиям 1o-3o.

В приведенных выше примерах по свойствам мы находили группу преобразований, сохраняющих эти свойства. Часто встречается и обратная задача: дана группа преобразований, и нужно найти - определить, какие свойства множества X не меняются под действием группы. Такие свойства называются инвариантами группы преобразований.

Задачи, связанные с нахождением инвариантов, довольно часто встречаются на математических кружках и олимпиадах.

Задача. На 44 деревьях, посаженных по окружности, сидят 44 веселых чижа, по одному на каждом дереве. Время от времени один из чижей перелетает на соседнее дерево и одновременно с ним какой-нибудь другой чиж перелетает на соседнее дерево в противоположном направлении. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

Решение. Занумеруем деревья по порядку числами от 0 до 43. В дальнейшем нам будет удобно считать, что это не целые числа, а остатки от деления на 44 или вычеты по модулю 44 (так, например, 44 ≡ 0(mod 44), 43+5 ≡ 4(mod 44), 1-3 ≡ 42(mod 44)). . Каждому вычету i (i=0, ..., 43) сопоставим число ni, равное количеству чижей на i-м дереве (числа ni тоже суть вычеты по модулю 44). В результате мы получаем функцию f(i)=ni на множестве вычетов со значениями в множестве вычетов. Множество всех таких функций обозначим через X.

Например, когда все чижи сидят на одном дереве (с номером i), получается функция

f0(k)=

т.е. f0=0. Начальному расположению чижей отвечает функция fнач=1. А ситуации, когда есть всего один чиж, сидящий на i-м дереве, отвечает функция

i(k)=

Пусть в какой-то момент времени чиж перелетает с i-го дерева на (i+1)-е, и одновременно с ним другой чиж перелетает с j-го дерева на (j-1)-е. Сопоставим этим перелетам чижей преобразование gij: X → X,

(gijf)(k)=f(k)+i+1(k)-i(k)-j(k)+j-1(k).

Контрольный вопрос: как действует gji? Запишите формулу для этого преобразования и выясните, какие перемещения чижей ему соответствуют.

Преобразования gij - это элементарные преобразования. Всевозможные композиции элементарных преобразований образуют некоторую группу G преобразований множества X.

Контрольные вопросы: Что такое gij-1? Что такое (gijgkl)-1? Как действует преобразование gi,j-1 gi-1,j?

А теперь вычислим для каждой функции f ∈ X число (а точнее вычет) S(f):

S(f)=0*f(0)+1*f(1)+2*f(2)+...+43*f(43).

Легко видеть, что S(f) - инвариант группы G. Действительно, любое элементарное преобразование функции f не меняет S(f):

S(gijf)=S(f)+(i+1)-i-j+(j-1)=S(f).

Но тогда и любое преобразование g ∈ G, как композиция элементарных преобразований, не меняет значения S(f).

Осталось заметить, что

S(fнач)=0+1+2+...+43=(43*44)/2=946 ≡ 22 (mod 44),
S(f
0) ≡ 0 (mod 44).

Следовательно, никаким элементом группы G нельзя перевести функцию fнач в функцию f0. Это означает, что все 44 чижа не могут собраться на одном дереве.

Как правило, задача типа: "Можно ли сделать (что-нибудь)?" - либо задача на построение примера, если это сделать можно, либо задача на нахождение инвариантов, которые показывают, что это сделать нельзя.

Таким образом, мы рассмотрели два объекта: группы преобразований и их инварианты. Существуют, как мы видели, два класса задач: по имеющимся инвариантам определить группу преобразований и, наоборот, по данной группе преобразований найти инварианты. В некотором смысле группа преобразований и ее инварианты - двойственные понятия.





Это интересно!

Полезные ссылки