Каталог книг:


Симметрия в математике - Содержание - Преобразования и их свойства

Преобразования и их свойства

Преобразованием некоторого множества X называется обратимое отображение множества X на себя - f: X → X.

Если f и g - два преобразования множества X, то их произведение g f также является преобразованием множества X. (Действительно, отображение g f переводит множество X в множество X, а обратным ему является отображение f -1 g-1.) Таким образом, на совокупности всех преобразований множества X определена операция умножения .

Конечно, умножение преобразований устроено не так просто, как умножение действительных чисел. Например, для любых чисел a и b выполнено равенство a*b=b*a. Однако далеко не всегда f g=g f.


Рис.6

Рассмотрим такой пример. Пусть множество X - это плоскость, преобразование f - поворот с центром в точке O на некоторый угол, g - симметрия относительно прямой l (рис.6). Преобразование f g переводит точку A в точку A'=f(g(A)), а преобразование g f - в точку A''=g(f(A)) (в первом случае мы сначала отразили, потом повернули, во втором - сначала повернули, потом отразили). А раз точки (f g)(A) и (g f)(A) не совпадают, то f g и g f - разные преобразования.

Но умножение преобразований обладает и многими хорошими свойствами, которые сближают его с умножением чисел. Мы знаем, например, что (a*b)*c=a*(b*c) для любых чисел a, b и c, т.е. что произведение трех чисел не зависит от того, в каком порядке выполнять операции умножения. Такое же свойство выполняется и для преобразований: (f g) h=f (g h). Докажем это. По определению умножения преобразований, для любого элемента x ∈ X

((f g) h)(x)=(f g)(h(x))=f(g(h(x)),
(f(g h))(x)=f((g h)(x))=f(g(h(x))).

Таким образом, преобразования (f g) h и f (g h) переводят любой элемент x ∈ X в элемент f(g(h(x))). Значит, эти преобразования совпадают.

Среди всех чисел выделяется число 1, обладающее следующим свойством: a*1=a для любого числа a. В множестве преобразований роль единицы выполняет тождественное преобразование e=eX: очевидно, что f e=f=e f для любого преобразования f. Каждому числу a ≠ 0 соответствует число a-1=1/a, a*a-1=1; говорят, что числа a и a-1 взаимно обратны. Каждому преобразованию f также соответствует обратное преобразование, т.е. такое f -1, что f f -1=f -1 f=e.





Это интересно!

Полезные ссылки