Каталог книг:


Симметрия в математике - Содержание - Задача 4 (алгебраическая)

Задача 4 (алгебраическая).

Задача 4 (алгебраическая). При каких a и b система уравнений

имеет ровно одно решение?

Решение. Система, как видите, достаточно сложная, и решить ее для всех значений a и b (чтобы потом выбрать из них те, при которых решение единственно) школьными методами невозможно. Но это и не нужно: найти требуемые значения a и b можно гораздо проще. Заметим, что вид нашей системы не изменится, как бы мы ни переставляли неизвестные x, y и z. Иными словами, если тройка чисел (x0,y0,z0) - решение системы, то решениями будут и тройки, полученные из нее всевозможными перестановками: (x0,z0,y0), (y0,x0,z0), (y0,z0,x0), (z0,x0,y0), (z0,y0,x0). Решение может быть единственным только в том случае, когда x0=y0=z0. Из первого уравнения х0=y0=z0=1. Подставляя эти значения x, y и z во второе и третье уравнения, получаем, что a=b=3. Осталось только проверить, что при этих a и b у системы действительно нет других решений, кроме (1,1,1).


Что же общего у этих четырех задач? Важным моментом в решении каждой из них было наличие некоторого преобразования, "сохраняющего" задачу (в первой задаче это была центральная симметрия, во второй - осевая симметрия, в третьей - поворот, в четвертой - перестановки неизвестных); относительно этого преобразования условие задачи было симметрично. Это и есть ключевая идея в современном представлении о симметрии: понятие симметрии начинается с понятия группы преобразований.





Это интересно!

Полезные ссылки