Каталог книг:


Симметрия в математике - Содержание - Свойства оператора L

Свойства оператора L

Свойство 1. Умножить функцию на число c (т. е. умножить на c все числа, написанные на гранях куба), а затем применить оператор L - то же самое, что сначала применить к оператор L, а потом умножить на c:

L(c)=cL.

Далее, применить L к сумме двух функций 1+2 - то же самое, что применить L к каждой из функций-слагаемых, а затем результаты сложить:

L( 1+2)=L1+L2.

Эти два соотношения вместе называются свойством линейности оператора L. Их доказательство не составляет труда: достаточно подставить выражения для c и для 1+2в формулу (*); в первом случае нужно вынести за скобки множитель c, а во втором - раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые.

Свойство 2. Рассмотрим группу G симметрий (самосовмещений) куба, т.е. совокупность всех преобразований, которые переводят куб в себя. Действие каждого преобразования g∈G на множестве X порождает соответствующее действие на F(X). Поскольку оператор L описывается в терминах соседства граней, а преобразование g сохраняет отношение соседства, то все равно, в каком порядке применять g и L: они перестановочны, g L=L g. Это очень важное свойство L: мы видели, что такое равенство выполняется далеко не всегда.

Свойства 1 и 2 оператора L и дают ключ к решению задачи. Идея состоит в следующем: поскольку оператор L линеен на F(X) и перестановочен с группой симметрий X, нужно искать такие элементы множества F(X), на которые группа симметрий действует наиболее просто. Тогда и L на этих элементах будет действовать просто. Затем нужно попытаться представить любую функцию в виде суммы таких "простых" функций, и мы сможем легко понять, как "устроен" оператор L.

Для начала выделим в группе G подгруппу Gц, состоящую из тождественного преобразования куба и его центральной симметрии: Gц={e,gц}. Группа Gц представляет собой уже знакомую нам группу 2, и, как мы выяснили в предыдущем разделе, любую функцию , заданную на кубе, мы можем представить в виде суммы четной и нечетной функции:

(x)=ч(x)+н(x).

Функция на кубе является четной относительно его центральной симметрии, если она не меняется под действием gц; это значит, что на противоположных гранях куба (gц переводит эти грани друг в друга) она принимает одинаковые значения. И наоборот, функция на кубе нечетна, если ее значения на противоположных гранях отличаются знаком.

Легко видеть, что любую нечетную функцию оператор L переводит в нулевую функцию (значения которой на всех гранях равны нулю). Действительно, четыре грани, соседние с данной, образуют две пары противоположных граней, при этом числа на противоположных гранях отличаются знаком. Поэтому после применения L к нечетной функции на всех гранях будут написаны нули. Итак,

(Lн)(x)=0, L=L(ч+н)=Lч.

После первого же применения оператора L нечетная часть исчезает!

Итак, мы нашли класс функций, на которые группа симметрий куба действует просто: любая симметрия куба (не только центральная) переводит нечетную функцию в нечетную. Как видим, и оператор L действует на эти функции просто: он их обнуляет.

Однако на четные функции L все еще действует замысловато. Значит, нужно продолжить исследование и выделить еще более простые составляющие четной функции. Пока из всех самосовмещений куба мы рассмотрели только центральную симметрию. Но преобразований, сохраняющих куб, очень много, это и повороты, и плоскостные симметрии... Существуют ли функции, которые не меняются под действием всей группы G (инварианты группы)? Очевидно, если на всех гранях куба написано одно и то же число (функция постоянна), то любое преобразование из группы G эту функцию переводит в себя. Заметим, что сумма всех чисел, написанных на гранях куба,

(xi)

также является инвариантом группы G. Поэтому функцию ч удобно представить в виде суммы двух функций: постоянной функции const и четной функции с нулевой суммой значений ч0.

Значение функции const на каждой грани куба положим равным

1/6(xi).

Сумма ее значений равна сумме значений исходной функции (и сумме значений функции ч, поскольку сумма значений нечетной функции равна нулю). Функцию ч0 определим просто:

ч0=ч-const.

Эта функция четна, как разность четных функций, и имеет нулевую сумму значений, как разность функций с одинаковой суммой.

Итак, по исходной функции мы построили три новые функции: н, const и ч0. При этом

(x)=н(x)+const(x)+ч0(x),

и благодаря линейности оператора L достаточно понять, как он действует на каждое из слагаемых. Мы уже знаем, что

Lн=0.

Ясно, что

Lconst=const.

Поскольку ч0 - четная функция, то ее значения на противоположных гранях одинаковы. Пусть, например, на верхней и нижней гранях ее значение равно a, на правой и левой - b, на передней и задней - c, причем a+b+c=0. После применения оператора L к функции ч0 на верхней грани должно быть написано число

1/4(b+c+b+c)=-1/2a.

Для остальных граней рассуждения аналогичны. Итак, действие L на ч0 тоже выглядит просто: значение на каждой грани умножается на (-1/2).

Мы получаем, что

L=Lн+Lconst+Lч0= const+(-1/2)ч0.

Следовательно,

L30=const+ч0.

Осталось заметить, что число настолько мало, что "добавка" ч0 почти незаметна (210=1024>103, 230>109). Поэтому

L30const,

и через месяц на всех гранях будет написано приблизительно 3,5. Если же сотрудники будут не месяц, а целый год так развлекаться, то числа, написанные на кубе, уже совершенно невозможно будет отличить от 3,5.

Как видим, считать "в лоб" в этой задаче было невозможно: мы даже не знали, как выглядит функция . Но разложение функции на составляющие позволило нам провести вычисления. Эта, казалось бы, простая идея оказывается очень эффективной в самых разных ситуациях.

В качестве самостоятельного упражнения читателю предлагается решить аналогичную задачу на октаэдре, а тот, кто справится с октаэдром, может перейти и к додекаэдру.





Это интересно!

Полезные ссылки