Каталог книг:


Симметрия в математике - Содержание - Задача о кубе

Задача о кубе

Важные идеи применения симметрии в современной математике и физике можно продемонстрировать на примере следующей шуточной задачи.

Задача. В лаборатории одного института лежит модель куба. Первого апреля сотрудник Петя написал на гранях куба числа от 1 до 6. На следующий день сотрудник Вася заменил число на каждой грани средним арифметическим чисел, написанных Петей на четырех соседних с ней гранях. Третьего апреля Петя заметил действия Васи и ответил ему тем же и т.д. Что будет написано на гранях куба через месяц?

Сформулируем эту задачу на математическом языке. X - это множество граней куба: X={x1,x2,...,x6}. То, что на гранях куба написаны числа, означает, что на множестве X задана функция , которая каждой грани куба ставит в соответствие некоторое число. Множество всех функций на X обозначим через F(X). Сотрудники, изменяя написанные на гранях числа, строят по функции другую функцию. Тем самым, на множестве функций F(X) задан оператор 1 L: F(X) → F(X), определяемый следующей формулой:

(L)(x)=1/4 Σ (y), (*)

где суммирование ведется по всем граням y, соседним с гранью x. Нужно узнать, что получится, если 30 раз применить оператор L:

L(L(...(L)...))= L... L=L30=?

(Заметим, что мы не знаем точного вида исходной функции ; нам известен только набор ее значений.)

Для решения этой задачи необходимо понять, какими свойствами обладает L.


1Слово "оператор" (так же как и слова "функция", "преобразование") является синонимом слова "отображение".





Это интересно!

Полезные ссылки