Каталог книг:


Симметрия в математике - Содержание - Четные и нечетные функции

Четные и нечетные функции

Рассмотрим еще одну реализацию группы 2. Пусть {X=} - множество действительных чисел, преобразование g - центральная симметрия относительно нуля - g x → -x (g и тождественное преобразование числовой прямой образуют группу G=2). Множество функций, определенных на , обозначим через F(). Заметим, что действие группы G продолжается и на F(): если на функцию ∈ F() подействовать элементом g, то получится функция g такого вида:

(g)(x)=(-x)=(gx)

(как действует тождественное преобразование, объяснять, наверное, не нужно).

Среди всех функций на прямой выделяются функции, обладающие некоторой симметрией: четные функции (такие функции , для которых выполнено условие (x)=(-x) для всех x∈, или, в наших обозначениях, g=) и нечетные (для которых (x)=-(-x), т.е. g=-). С любой функцией (x) связаны две функции:

ч=((x)+(-x))/2=((x)+(g)(x))/2 и
н=((x)-(-x))/2= ((x)-(g)(x))/2.

Легко видеть, что ч - четная функция, а н - нечетная, причем

(x)=ч(x)+н(x).

Аналогичное утверждение верно и для произвольного множества X (не обязательно ), на котором действует группа преобразований 2: каждая функция ∈ F(X), : X → , может быть представлена в виде суммы четной и нечетной функций. Действительно, если из предыдущего абзаца изъять все формулы, использующие конкретный вид преобразования g, то проведенное рассуждение становится верным и в случае произвольного множества.





Это интересно!

Полезные ссылки