Каталог книг:


Симметрия в математике - Содержание - Определение группы

Определение группы

Пусть задано некоторое множество G произвольной природы, на котором определена операция умножения, т.е. закон, сопоставляющий любой паре a, b элементов G некоторый элемент множества G, называемый произведением a и b и обозначаемый через a*b. Предположим, что эта операция умножения удовлетворяет следующим условиям:

I. (Условие ассоциативности.) Для любых трех элементов a, b и c множества G справедливо соотношение

(a*b)*c=a*(b*c).

II. (Условие существования нейтрального элемента.) В множестве G существует элемент, называемый нейтральным элементом и обозначаемый символом e, такой что

a*e=e*a=a

для любого элемента a множества G.

III. (Условие существования обратного элемента к каждому элементу.) Для любого элемента a множества G существует такой элемент b множества G, что

a*b=b*a=e.

Элемент b называется обратным к элементу a и обозначается a-1.

Множество G с операцией умножения, удовлетворяющей этим трем условиям, называется группой, а сами эти условия - аксиомами группы.

Зачем нужно общее понятие группы? Почему бы не ограничиться изучением конкретных групп преобразований? Можно ответить вопросом на вопрос: а зачем нужны абстрактные числа, а не отдельные числа для подсчета яблок, отдельные - для подсчета калош? Группы преобразований с одинаковой таблицей Кэли и проявляют себя одинаково, хотя и действуют на разные множества.

С этой точки зрения, группы, рассмотренные в предыдущих трех примерах, - это одна и та же абстрактная группа. У этой группы есть традиционное обозначение - 2.

Задача. Докажите, что группа перестановок из трех элементов (которая появилась в задаче 4) и группа самосовмещений правильного треугольника (частный случай группы самосовмещений правильного n-угольника) имеют одинаковые таблицы Кэли, т.е. это одна и та же абстрактная группа.





Это интересно!

Полезные ссылки