Каталог книг:


Симметрия в математике - Содержание - Общее понятие группы

Общее понятие группы

Пусть G - некоторая группа преобразований, состоящая из конечного числа элементов: G={e,g1,g2,...,gn}. Поскольку произведение любых двух элементов группы тоже элемент группы, можно составить таблицу умножения, или таблицу Кэли (табл.1, на пересечении i-й строки и j-го столбца стоит элемент gi gj).

  e g1 ... gj ... gn
e e g1 ... ... ... ...
g1 g1 ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
gi ... ... ... gi gj ... ...
... ... ... ... ... ... ...
gn ... ... ... ... ... ...

Пример 1. (К задаче 1.) В этой задаче множество X - расположение монет на столе, а группа преобразований состоит всего из двух элементов: G={e,g}, где e, как обычно, тождественное преобразование, g - преобразование симметрии относительно центра стола. Таблица Кэли для этой группы выглядит очень просто (табл.2). Понятно, что g g=e, так как дважды примененная центральная симметрия дает тождественное преобразование.

  e g
e e g
g g e

Пример 2. (К задаче 2.) Здесь множество X состоит из пар точек (A,B), а группа преобразований - из тождественного преобразования e и преобразования g, которое пару (A,B) переводит в пару (A',B), где A' - точка, симметричная точке A относительно прямой l. Легко видеть, что таблица Кэли этой группы выглядит точно так же, как в предыдущем примере.

Пример 3. (К задаче 4'.) В этой задаче, как мы уже знаем, G={e,g=(x ↔ y)}. У этой группы такая же таблица Кэли, как и у групп в двух предыдущих примерах.

Таким образом, в совершенно разных ситуациях, при совершенно разных множествах X и совершенно разном действии преобразований возникают группы преобразований с одинаковыми таблицами умножения. Это наблюдение приводит нас к понятию абстрактной группы.

Абстрактная группа возникает в тот момент, когда мы забываем о множестве X, о том, как именно действуют преобразования, и рассматриваем только множество G, на котором определено умножение.





Это интересно!

Полезные ссылки