Каталог книг:


Жемчужины теории многогранников - Приложение - Нестрого выпуклые многогранники

Нестрого выпуклые многогранники

Как мы знаем, теорема Коши была доказана лишь в случае строго выпуклых многогранников и неверна для невыпуклых многогранников. Обобщение теоремы Коши для нестрого выпуклых многогранников немедленно вытекает из следующей, самой по себе очень интересной теоремы.

Теорема (А.Д.Александров). Даны два, вообще говоря, нестрого выпуклых многогранника одинакового комбинаторного типа. Если соответственные плоские углы их граней равны, то двугранные углы при соответственных ребрах также равны.


Рис.31.

Обратим внимание на то, что в нестрого выпуклом многограннике, кроме настоящих ребер и вершин, имеются также и фиктивные ребра и вершины. Фиктивное ребро нестрого выпуклого многогранника - это ребро, двугранный угол при котором равен . Фиктивная вершина - это вершина, для которой сумма подходящих плоских углов равна 2. Многогранный угол в фиктивной вершине является двугранным углом (вершина A на рис.31), который, в частности, может вырождаться в плоскость (вершина B на рис.31). В фиктивной вершине могут сходиться либо два настоящих ребра, либо ни одного. Так как пространственный угол в фиктивной вершине сводится к двугранному, то настоящие ребра, подходящие к ней, должны лежать на одной прямой и быть продолжением друг друга (ребра AC и AD на рис.31).

Пусть два многогранника M и M' удовлетворяют условиям теоремы. Как и при доказательстве теоремы Коши, сообщим каждому ребру многогранника M знак "+", если двугранный угол при ребре больше, чем угол при соответствующем ребре многогранника M', или знак "-", если этот двугранный угол меньше.

Рассмотрим число перемен знака при обходе вершины. Пусть A и A' - соответственные вершины. Так как настоящая вершина отличается от фиктивной тем, что сумма подходящих плоских углов строго меньше 2, а, по условию теоремы, все соответственные плоские углы у многогранников равны, то вершины A и A' обе либо настоящие, либо фиктивные. Если эти вершины настоящие, то, по лемме 2, как мы уже знаем, число перемен знака при обходе каждой из них либо равно 0 (когда ни одно ребро со знаком к A не подходит), либо не меньше 4.

Рассмотрим случай, когда вершины A и A' фиктивные. Здесь различают две возможности:

1) среди ребер, подходящих к обеим вершинам, имеются настоящие ребра, и при этом одному из настоящих ребер с концом в A соответствует фиктивное ребро с концом в A';

2) все прочие случаи, т. е. когда хотя бы при одной из этих вершин нет настоящих ребер либо настоящие ребра имеются при обеих вершинах и они соответствуют друг другу.

Покажем, что в случае 1) число перемен знака при обходе вершины A равно 4, а в случае 2) вершина A может быть исключена из подсчета общего числа перемен знака.


Рис.32.

Случай 1). Пусть к обеим фиктивным вершинам A и A' подходят настоящие ребра (их может быть лишь два). Обозначим через a1, a2 настоящие ребра, сходящиеся в вершине A, а через b'1, b'2 - настоящие ребра, подходящие к вершине, ей соответствующей (рис.32). Напомним, что настоящие ребра, подходящие к фиктивной вершине, лежат на одной прямой и взаимно дополняют друг друга. Поэтому если настоящему ребру a2 соответствует фиктивное ребро a'2, то и второму настоящему ребру a1 соответствует также фиктивное ребро a'1. Поэтому и обратно, настоящим ребрам b'1 и b'2 в M' соответствуют фиктивные ребра b1, b2 в M. Следовательно, знаки на ребрах a1, b1, a2, b2 суть "-", "+", "-", "+" соответственно. Так как все остальные ребра, подходящие к данным вершинам (если они есть), фиктивные, мы имеем в случае 1) в точности четыре перемены знака при обходе вершины A.

Случай 2) разбивается на три подслучая:

2а) ни к A, ни к A' не подходит ни одного настоящего ребра;

2б) настоящие ребра имеются лишь в одной из них;

2в) настоящие ребра имеются в обеих фиктивных вершинах, и они соответствуют друг другу.

Случай 2а). Настоящих ребер нет ни в A, ни в A'. Соответственные двугранные углы (все равные ) равны между собой. Таким образом, обе вершины и все подходящие к ним ребра находятся внутри некоторой настоящей грани, и их можно исключить.


Рис.33.

Случаи 2б) и 2в). Пусть к фиктивной вершине A подходит настоящее ребро a1. Следовательно, к этой вершине подходит и другое настоящее ребро a2, которое является продолжением ребра a1. Тогда в случае 2б) все ребра, подходящие к A', должны быть фиктивными. Кроме того, легко понять, что соответствующие ребра a'1 и a'2 также дополняют друг друга. Поэтому мы можем выбросить вершины A и A', а также все сходящиеся в них ребра за исключением a1, a2, a'1 и a'2, которые мы попарно объединяем в два ребра: a1a2 и a'1 a'2. При этом знак у нового ребра a1 a2 будет тот же, что и у исходных ребер a1 и a2 (рис.33).


Рис.34.

В случае 2в) ребра a'1 и a'2 также настоящие и дополняют друг друга. Остальные ребра фиктивные. Поэтому, как и в случае 2б), можно исключить обе вершины A и A' и все фиктивные ребра, подходящие к ним. При этом ребра a1 и a2 и, соответственно, a'1 и a'2 лежат на одной прямой, а ребра a1 и a2, кроме того, имеют одинаковый знак. Их можно объединить в новые, более крупные ребра, соответственно a1 a2 и a'1 a'2, и приписать первому из них соответствующий знак (рис.34).

Таким образом, фиктивные вершины, подчиняющиеся случаю 2), и входящие в них лишние фиктивные ребра можно исключить. Пара оставшихся ребер, входивших в фиктивную вершину, объединяется в одно ребро, которое снабжается общим для старых ребер знаком. Поэтому если на многограннике M имеются отмеченные знаком ребра, то при обходе всякой оставшейся вершины (это либо настоящая вершина, либо фиктивная вершина в случае 1)) не менее четырех перемен знака. А это противоречит лемме 1, согласно которой существует вершина с числом перемен знака не больше 2. Лемма 1 была сформулирована для выпуклых многогранников. В действительности же, как видно из ее доказательства, она верна для любого многогранника, эйлерова характеристика которого равна 2. Полученное противоречие доказывает теорему.





Это интересно!

Полезные ссылки