Каталог книг:


Жемчужины теории многогранников - Приложение - Теорема Коши о многоугольниках

Теорема Коши о многоугольниках

Теорема о многоугольниках (Коши). Пусть =A1... An и =B1... Bn - два выпуклых многоугольника (плоских или сферических) с одним и тем же числом вершин. Пусть, далее, выполнены условия

  1. все стороны, кроме AnA1 и BnB1, соответственно равны:
    A1A2=B1B2, ..., An-1An =Bn-1Bn;

  2. углы между этими сторонами у первого многоугольника не больше, чем у второго, т.е.

    A2B2, ..., An-1Bn-1,

причем хотя бы в одном случае имеет место строгое неравенство.

Тогда сторона AnA1 первого многоугольника меньше, чем сторона BnB1 второго:

AnA1<BnB1.

Доказательство проведем индукцией по числу сторон. Пусть число сторон n равно 3. Теорема сводится к следующему: если у двух треугольников две стороны одного равны двум сторонам другого (A1A2=B1B2 и A2A3=B2B3), а углы, заключенные между ними, не равны, то третья сторона больше там, где больше угол. Для плоских треугольников эта теорема имеется в учебниках, для сферических треугольников она доказывается дословно так же. Предположим, что теорема верна для (n-1) -угольников. Докажем ее для n -угольников (n>3). Пусть n-угольники и удовлетворяют условиям теоремы. Имеются две возможности:

  1. все углы A2, ..., An-1 строго меньше соответствующих углов B2, ......, Bn-1;
  2. среди этих углов имеются равные, скажем Ak= Bk.


Рис.28.

а) б)
Рис.29.

Докажем теорему сначала во втором случае: Ak= Bk. Проведем диагонали Ak-1Ak+1 и Bk-1Bk+1 (рис.28). Они отсекают от многоугольников треугольники T и T' соответственно. Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. У многоугольников Q и Q', остающихся после отсечения равных треугольников T и T', соответственные стороны равны: стороны Ak-1Ak+1 и Bk-1Bk+1 равны из-за равенства треугольников T и T'. Углы в многоугольнике Q при вершинах Ak-1 и Ak+1 не больше, чем углы в Q' при соответствующих вершинах Bk-1 и Bk+1. Углы при остальных вершинах в Q и Q' такие же, как и соответствующие углы в и . Итак, многоугольники Q и Q' удовлетворяют тем же условиям, а вершин у них на одну меньше. По предположению индукции, теорема для них верна. Поэтому AnA1<BnB1. Предположим теперь, что все углы A2, ..., An-1 многоугольника строго меньше соответствующих углов . Возьмем вершину Ak выпуклого многоугольника (k ≠ 1, k ≠ n) и проведем хорды A1Ak и AnAk. Многоугольник разбивается, вообще говоря, на два многоугольника Q и R и треугольник T (рис.29, a). Один из многоугольников Q или R может вырождаться в отрезок.

Будем непрерывно изменять треугольник T, увеличивая его угол при вершине Ak и сохраняя длины его сторон A1Ak и AnAk. Лежащая против увеличивающегося угла сторона A1An увеличивается, так что после деформации сторона A''1A''n будет длиннее A1An. При этой деформации многоугольники Q и R перемещаются как жесткое целое. Увеличим угол Ak до величины Bk. Тогда в деформированном многоугольнике '' (рис.29, б) A''2< B2, ..., A''n-1< Bn-1, за исключением угла A''k, который равен Bk.

Случай 1) сводится к уже рассмотренному случаю 2), согласно которому B1Bn>A''1A''n>A1An. На этом доказательство теоремы о многоугольниках, данное Коши, заканчивалось.


Рис.30.

В течение более ста лет теорема считалась доказанной, и только в начале XX века был замечен и закрыт пробел в доказательстве. Дело в том, что ссылка на случай 1) правомерна, если получаемый в результате деформации многоугольник A'' выпуклый. Однако при увеличении угла Ak многоугольник может оказаться невыпуклым (рис.30). Довольно длинное окончание доказательства мы опускаем.





Это интересно!

Полезные ссылки