Каталог книг:


Жемчужины теории многогранников - Приложение - Обобщенная теорема Эйлера

Обобщенная теорема Эйлера


В=42   Г=5
Р=41   k=5
В=14   Г=2
Р=11   k=4
В-Р+Г=k+1
Рис.23.

В действительности нам понадобится соответствующая формула Эйлера не для выпуклого многогранника, а для графа, составленного лишь из части ребер выпуклого многогранника. Рассмотрим на плоскости (или на сфере) граф, состоящий из В вершин, Р ребер - отрезков (или дуг больших окружностей в случае сферы), соединяющих вершины этого графа. Мы предполагаем, что любые два ребра графа не пересекаются и могут иметь лишь общие вершины. Этот граф разбивает плоскость (или сферу) на некоторое число Г областей, так что от любой точки области можно пройти к любой другой точке этой же области, не пересекая ребра графа. Сам граф может состоять из k связных компонент. Связная компонента состоит из всех ребер и вершин графа, таких что любые две вершины компоненты можно соединить ломаной, состоящей из ребер этой компоненты. На рис.23 показаны примеры графов, слева - на плоскости, справа - на сфере. Легко проверить, что в обоих случаях имеет место равенство В-Р+Г=k+1. Следующая теорема является обобщением теоремы Эйлера:

Обобщенная теорема Эйлера.Для графа, состоящего из В вершин, Р ребер, k компонент и разбивающего плоскость (или сферу), на которой он лежит, на Г областей, выполняется равенство В-Р+Г=k+1.

Рассмотрим пару примеров, иллюстрирующих эту теорему. Если в графе нет ни одного ребра и имеются только В вершин, то Р=0, Г=1, k=В и В-Р+Г=k-0+1=k+1.


Рис. 24.

Другой пример. Возьмем выпуклый многогранник, например куб, и из точки, лежащей внутри его, спроецируем вершины, ребра и грани этого многогранника на сферу с центром в центре проектирования (рис.24) соответственно в вершины, ребра графа и области, на которые разбивается сфера ребрами графа. Для полученного графа на сфере k=1. В этом случае обобщенная теорема есть по существу теорема Эйлера для выпуклых многогранников.

Докажем обобщенную теорему. Пусть в графе имеется концевая вершина: так мы будем говорить о вершине, из которой выходит только одно ребро графа. Рассмотрим две возможности: второй конец этого ребра принадлежит еще одному ребру или второй конец принадлежит лишь этому ребру. Рассмотрим сначала второй случай. Удалим ребро и обе его вершины. При этом число областей Г не изменится, число вершин В уменьшится на 2, число ребер Р и число компонент k уменьшатся на 1 каждое. Величина В-Р+Г-k не изменится. В первом случае удалим ребро и лишь одну его вершину - концевую. При этом число областей Г опять не изменится, число вершин В и число ребер Р уменьшатся на 1 каждое, число компонент k не изменится. В итоге величина В-Р+Г-k не изменится.

Пусть в нашем графе нет концевых вершин, т. е. из каждой вершины выходит по крайней мере два ребра. Тогда из ребер графа можно составить замкнутый несамопересекающийся путь. Такой путь разбивает плоскость (или сферу) на две связные части.1 Выбросим из этого пути одно ребро. Тогда числа В и k не изменятся, число Р уменьшится на 1. Уменьшится на 1 также и число Г, так как две области, смежные по этому ребру, теперь объединятся в одну область.

Поэтому при удалении ребра из замкнутого пути величина В-Р+Г-k также не изменится.

Таким образом, мы можем удалить из графа все ребра, при этом не изменяя величины В-Р+Г-k. А для графа, не содержащего ни одного ребра, но состоящего из В вершин, как мы видели выше, Р=0, В=k, Г=1. Следовательно, В-Р+Г=k+1. Обобщенная теорема Эйлера доказана.


1


Рис.25.

Это, казалось бы, очевидное утверждение (называемое теоремой Жордана) доказать очень не просто. Оно верно и на плоскости, и на сфере. А вот, например, на поверхности тора оно не верно. На рис.25 изображен замкнутый путь на торе, не разбивающий поверхность тора на части.





Это интересно!

Полезные ссылки