Каталог книг:


Жемчужины теории многогранников - Приложение - Теорема Эйлера

Теорема Эйлера

В доказательстве теорем Коши и Александрова используется теорема Эйлера. Эта знаменитая теорема впервые появилась в 1752 году в журнале Петербургской академии наук в работах Леонарда Эйлера1 "Элементы учения о телах" и "Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями".

Теорема Эйлера. Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство

В-Р+Г=2.

Число =В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.

Многогранник В Р Г
Тетраэдр 4 6 4 2
Октаэдр 6 12 8 2
Параллелепипед 8 12 6 2
n-угольная пирамида n+1 2n n+1 2
n-угольная призма 2n 3n n+2 2


Pис.21.

Для доказательства теоремы Эйлера возьмем произвольную грань F1 многогранника, а также смежную с ней по ребру грань F2. Подчеркнем, что эту пару граней ограничивает связный (т.е. состоящий из одного куска) несамопересекающийся контур из ребер этих граней. Выберем третью грань F3, которая прилегает к этой паре по некоторому связному куску ломаной, состоящей из ребер (рис.21). Это, как нетрудно увидеть, всегда можно сделать. Тогда граница тройки этих граней тоже представляет собой связный несамопересекающийся контур. Легко показать, что к уже отобранным граням можно присоединить четвертую грань, затем пятую и т.д. так, чтобы получающаяся на очередном шаге совокупность граней F1, F2, ..., Fi была ограничена связным несамопересекающимся контуром.

Подсчитывать эйлерову характеристику многогранника будем поэтапно. На первом этапе вклад грани F1 в эйлерову характеристику, т.е. число вершин грани минус число ее ребер (такое же) плюс число граней (в данном случае равное 1), равен 1. Присоединяя новую грань F2, мы прибавляем некоторое число новых вершин, отнимаем число (меньшее числа вершин на единицу) новых ребер и прибавляем единицу, соответствующую новой грани. В итоге, вклад в эйлерову характеристику на втором этапе нулевой. Так как присоединяемая на каждом этапе грань имеет с предыдущими гранями общую границу в виде одной связной ломаной, то на каждом шаге (за исключением последнего) число новых вершин на единицу меньше числа новых ребер. Поэтому на каждом шаге, начиная со второго вплоть до предпоследнего, вклад в эйлерову характеристику нулевой. Присоединение последней грани не дает ни новых вершин, ни новых ребер, добавляя в эйлеровой характеристике к уже имеющейся единице еще одну, соответствующую последней грани. Таким образом, на последнем этапе мы получаем эйлерову характеристику многогранника, равную 2.


Pис.22.

Теорема Эйлера имеет огромное значение в геометрии. Эта теорема породила новое направление в математике - топологию. Эйлерова характеристика не зависит ни от длин ребер, ни от площадей граней, ни от каких-либо углов многогранника. Эйлерова характеристика равна 2 независимо от того, выпуклый это многогранник или нет. Главное - чтобы поверхность этого многогранника не имела дыр и была "похожа" на сферу, а не на рамку (рис.22). Для многогранника, "похожего" на рамку, эйлерова характеристика равна 0.


1Леонард Эйлер (1707, Базель, Швейцария - 1783, Санкт-Петербург) - гениальный математик, более 30 лет проработал в Санкт-Петербурге, член Петербургской академии наук.





Это интересно!

Полезные ссылки