Каталог книг:


Жемчужины теории многогранников - Содержание - Единственность выпуклого многогранника с данной разверткой

Единственность выпуклого многогранника с данной разверткой

Теорема Александрова о единственности. Два выпуклых многогранника с одинаковыми развертками конгруэнтны.

Эта теорема сильнее теоремы Коши. Действительно, если нам даны все грани многогранника, а также правило их склеивания, то, конечно, развертка задана. Более того, по такой специального вида развертке в силу теоремы Коши многогранник восстанавливается однозначно. Но, вообще говоря, по развертке практически ничего нельзя сказать о гранях и ребрах будущего многогранника. По развертке легко определить лишь точки, которым соответствуют настоящие вершины многогранника. Таким образом, задание развертки является гораздо более слабым условием, чем задание граней, как это требуется в теореме Коши. Доказательство теоремы о единственности многогранника с данной разверткой опирается на теорему Коши. Так как эта теорема, доказанная Александровым, продолжает линию, начатую Коши, мы будем ссылаться на нее как на теорему Коши-Александрова.

а) б) в)
Pис.15.1

Допустим противное: из данной развертки склеены два различных выпуклых многогранника M и M'. Между точками многогранника и точками его развертки существует взаимно однозначное соответствие, при котором расстояния между соответствующими точками равны. При этом соответствии ребра многогранника переходят в отрезки или наборы отрезков на развертке. Многогранники M и M' порождают на развертке две сетки отрезков, соответствующих ребрам этих многогранников. Так как многогранники различны, то эти сетки могут совпадать лишь отчасти. На рис.15, а сетка ребер многогранника M показана линиями потолще, а ребра многогранника M' - линиями потоньше. Перенесем теперь обе сетки с развертки на поверхности обоих многогранников M и M' (рис.15, б, в). Образы ребер многогранника M' на многограннике M разбивают его грани на "новые грани". В свою очередь, сетка ребер многогранника M, нанесенная на многогранник M', разбивает грани последнего также на новые грани.

Каждой новой грани многогранника M соответствует равная ей новая грань многогранника M', и наоборот. Мы получаем два многогранника с соответственно равными гранями, взятыми в одинаковом порядке. Все почти как в теореме Коши. Различие заключается лишь в том, что эти многогранники уже нестрого выпуклые: двугранные углы между новыми гранями при новых ребрах могут быть равны .


Pис.16.

Теорема Коши неприменима к нестрого выпуклым многогранникам, потому что утверждение о четырех и более переменах знака при обходе вершины выпуклого многогранного угла уже неверно, если, например, один из многогранных углов сводится к двугранному углу. Допустим, что в соответственных вершинах A и A' сходятся по четыре квадрата (рис.16). Соответствующая расстановка знаков на ребрах не дает ни одной перемены знака при обходе вершины A. Так что прямого противоречия с леммой 1, согласно которой существует вершина с не более чем двумя переменами знака, не получается.

Таким образом, для доказательства единственности выпуклого многогранника с данной разверткой нужно показать, что теорема Коши верна и для нестрого выпуклых многогранников (соответствующая теорема и ее доказательство приведены в Приложении).

Более того, из развертки многогранника нельзя получить вообще никакой другой выпуклой поверхности, не только многогранной, но и криволинейной. Это усиление теоремы Коши-Александрова было получено в 1941 году С.П.Оловянишниковым. Сергей Пантелеймонович Оловянишников - победитель первой в СССР математической олимпиады (1934 год). Из-за купеческого происхождения в 1930-х годах долго не мог поступить в университет. В 1941 году закончил Ленинградский университет и поступил в аспирантуру к А.Д.Александрову, тут же ушел на фронт, осенью 1941 года был ранен. В госпитале написал работу об усилении теоремы Коши-Александрова. Вернувшись на фронт, С.П.Оловянишников погиб в декабре 1941 года на "невском пятачке" - известном кровопролитными боями плацдарме.

Что касается наиболее полного обобщения теоремы Коши на случай произвольных, а не только многогранных поверхностей, то этот вопрос долгое время оставался нерешенным. Пусть произвольная замкнутая выпуклая поверхность выполнена из тонкого, гибкого, но нерастяжимого материала. Можно ли получить из этого же материала другую, неконгруэнтную первой выпуклую поверхность? Если исходная поверхность - выпуклый многогранник, то нельзя - это случай теоремы Коши-Александрова-Оловянишникова о единственности.

Окончательный результат для произвольных выпуклых поверхностей был получен в 1949 году представителем школы Александрова академиком Алексеем Васильевичем Погореловым (род. в 1919 году). Он доказал теорему единственности для любой замкнутой выпуклой поверхности: две изометричные друг другу замкнутые выпуклые поверхности конгруэнтны. Теорема Погорелова о единственности, как и теорема Александрова о развертке, принадлежит к числу выдающихся достижений в области геометрии.


1Рисунки 15, б, в условны, так как в действительности два таких многогранника одновременно существовать не могут.





Это интересно!

Полезные ссылки