Каталог книг:


Жемчужины теории многогранников - Содержание - Гипотеза кузнечных мехов и теорема Сабитова

Гипотеза кузнечных мехов и теорема Сабитова


Рис.12.

Не исключено, что открытие изгибаемых многогранников кому-то покажется не очень удивительным, особенно если он вспомнит о мехах музыкальных инструментов, например баяна. Но это неверная ассоциация. Мехи баяна "работают" из-за эластичности и сминаемости материала, из которого они изготовлены. Если бы мехи были собраны из твердых пластин, соединенных между собой петлями, то сыграть на инструменте не удалось бы. Такие мехи нельзя было бы ни сжать, ни растянуть (рис.12).

Впрочем, изгибаемый многогранник тоже непригоден для мехов, хотя и по другой причине. При изгибании многогранник меняет свою форму, но было замечено, что заключенный в многограннике объем при этом остается постоянным, т.е. изгибаемый многогранник "не дышит". Возникла гипотеза кузнечных мехов о том, что это всегда так: объем многогранника не изменяется при изгибании.

Содержательная проблема хороша тем, что попытки решить ее приводят к появлению новых методов и теорем, которые иногда более интересны, чем породившая их проблема. Так произошло и в этом случае, когда раздумья над гипотезой кузнечных мехов привели к открытию неожиданной теоремы.

Чтобы лучше понять ее смысл, вспомним формулу Герона. Она выражает площадь треугольника лишь через его стороны:

S=, где p=(a+b+c)/2.

Для многоугольников с большим числом сторон формулы, выражающей площадь лишь через стороны, нет, поскольку стороны сами по себе, если не заданы углы, не определяют ни форму многоугольника, ни его площадь. Например, площадь ромба со стороной a может быть любой между 0 и a2.

Для многогранников картина принципиально иная. Предположим сначала, что все грани многогранника - треугольники. Тогда длины его ребер однозначно определяют форму треугольных граней. Поэтому если многогранник выпуклый, то, по теореме Коши, длины ребер однозначно определяют форму многогранника, а следовательно, и его объем. Сама же зависимость величины объема от длин ребер была неизвестной. Из существования изгибаемых многогранников следует, что длины ребер форму многогранника, вообще говоря, не задают.

Теорема, доказанная в 1996 году российским математиком Иджатом Хаковичем Сабитовым, устанавливает связь между длинами ребер любого, не обязательно выпуклого многогранника с треугольными гранями и его объемом. Пусть дан такой многогранник. Тогда можно построить многочлен

F(x)=xn+a1xn-1+...+an,

коэффициенты a1, ..., an которого выражаются при помощи четырех арифметических действий через параметры l1, ..., lm - длины ребер многогранника. То, как коэффициенты многочлена выражаются через параметры - длины ребер, зависит, собственно, не от длин ребер и величин углов многогранника, а от комбинаторного типа многогранника, т.е. от того, сколько ребер у граней, сколько граней у многогранника, как грани сходятся в вершинах и т. п. Подставляя теперь вместо l1, ..., lm значения длин ребер данного многогранника, получаем многочлен F(x) с конкретными числовыми коэффициентами. Теорема Сабитова утверждает, что объем данного многогранника есть один из корней этого многочлена.

Теперь можно объяснить, почему в силу этой теоремы гипотеза кузнечных мехов верна: многогранники при изгибании сохраняют объем. Если у многогранника имеются многоугольные грани с числом сторон, превосходящим три, то их можно разбить диагоналями на треугольники. Мы получаем новый многогранник, грани которого суть треугольники. Далее, при изгибании комбинаторный тип многогранника не меняется, грани сохраняются, длины ребер остаются постоянными. Поэтому существует многочлен F с заданными коэффициентами такой, что объем многогранника есть один из корней этого многочлена. Если бы объем многогранника при изгибании менялся, то это должно было бы происходить непрерывно. А так как объем является корнем многочлена F, то это должен быть один и тот же корень. Таким образом, объем многогранника должен оставаться при изгибании неизменным.





Это интересно!

Полезные ссылки