Каталог книг:


Жемчужины теории многогранников - Содержание - Гипотеза Эйлера и изгибаемые многогранники

Гипотеза Эйлера и изгибаемые многогранники

Вопрос, однозначно ли задается форма многогранной поверхности своими гранями или она может меняться за счет изменения двугранных углов, интересовал математиков задолго до Коши. В XI книге знаменитых "Начал" Евклида многогранники определяются как равные, если они составлены из соответственно равных граней, взятых в одинаковом порядке. Впоследствии многие высказывали мнение, что это, собственно, не определение, а утверждение, нуждающееся в доказательстве. При этом все верили в его справедливость, а в 1776 году великий математик Леонард Эйлер высказал гипотезу: "Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется". Под "замкнутой пространственной фигурой" понималось то, что сейчас принято называть замкнутой поверхностью, т. е. поверхностью без края. Таким образом, предположение Эйлера относилось не только к многогранным, но и к произвольным поверхностям. Теорема Коши подтвердила гипотезу Эйлера в случае выпуклых многогранников, а также то, что равенство выпуклых многогранников можно определять по Евклиду.

Теорема Коши позволяет также ослабить определение правильных многогранников (тел Платона). Напомним, что правильным многогранником называется выпуклый многогранник, у которого все грани суть равные правильные многоугольники и двугранные углы попарно равны. Так вот, вместо равенства углов достаточно потребовать лишь, что в каждой вершине сходится равное число граней. Равенство двугранных углов будет следовать из теоремы Коши.

На протяжении двух веков геометры верили, что не только любой выпуклый, но и любой невыпуклый многогранник тоже неизгибаем. Первые сомнения в этом зародились в 1897 году, после того как французский математик Р. Брикар нашел первые контрпримеры к гипотезе Эйлера. Правда, эти изгибаемые многогранники, так называемые октаэдры Брикара, - не совсем привычные многогранники: они самопересекаются.

а) б)
Рис.9.

Идея Брикара очень остроумна. Возьмем в пространстве четырехугольник ABCD с равными противоположными сторонами: AB=CD, BC=AD. Если это плоский четырехугольник, то ABCD - знакомый нам параллелограмм (рис.9, a). Через точку O пересечения его диагоналей проведем прямую l, перпендикулярную к плоскости ABCD. Заметим, что при повороте вокруг этой прямой на 180o параллелограмм переходит в себя.

Пусть теперь ABCD - пространственный четырехугольник, т.е. вершины A, B, C, D не лежат в одной плоскости (рис.9, б). Его диагонали AC и BD лежат на скрещивающихся прямых. Проведем через середины O1 и O2 диагоналей прямую l. Так как в данном четырехугольнике противоположные стороны равны (AB=CD, BC=AD), прямая l, как нетрудно доказать, перпендикулярна обеим диагоналям. Поэтому при повороте вокруг прямой l на 180o вершины A и C, а также B и D меняются местами и, следовательно, четырехугольник ABCD переходит в себя.

а) б)
Рис.10.

Возьмем теперь вне прямой l точку S и построим четыре треугольника SAB, SBC, SCD и SDA (рис.10, а). Эти треугольники образуют четырехгранный угол. В школьном курсе геометрии доказывается, что плоские углы трехгранного угла задают этот трехгранный угол однозначно. Однако если число граней у пространственного угла больше трех, то такой однозначности нет. Очевидно, что четырехгранный угол SABCD допускает непрерывную деформацию. При таком изгибании четырехугольник ABCD непрерывно деформируется в четырехугольник A'B'C'D' с соответственно равными сторонами, а ось поворота l четырехугольника ABCD переходит в ось l' четырехугольника A'B'C'D'.

При повороте вокруг оси l на 180o пространственный угол SABCD переходит в конгруэнтный угол S1CDAB (рис.10, б). Совокупность восьми треугольников SAB, SBC, SCD, SDA, S1AB, S1BC, S1CD и S1DA удовлетворяет всем условиям в определении многогранника. Правда, некоторые грани этого многогранника пересекают друг друга. Этот самопересекающийся многогранник и есть октаэдр Брикара.

Почему октаэдр Брикара изгибаем? Половинка октаэдра, очевидно, изгибается. Вторая половинка получается из первой поворотом вокруг оси l, и, следовательно, ее деформация в точности повторяет деформацию первой половинки. Значит, и весь октаэдр Брикара изгибаем.


а)


б)


в)
Pис.11.

В 1970-е годы выяснилось, что Эйлер в своем предположении был "почти" прав... и не прав. Почти прав, потому что, как было установлено в 1975 году, "почти все" многогранники неизгибаемы. "Почти все" означает, что неизгибаемые многогранники составляют в некотором смысле "подавляющее большинство". Два года спустя, в 1977 году, американский геометр Роберт Коннелли построил первые примеры изгибаемых многогранников и тем самым опроверг гипотезу Эйлера. На рис.11, а изображен изгибаемый многогранник с девятью вершинами, построенный в 1979 году немецким геометром Клаусом Штеффеном. Развертка многогранника Штеффена показана на рис.11, в. Разный вид пунктирных линий на развертке означает, что грани перегибаются вдоль этих линий сгиба в разные стороны. На рис.11, б показана схема "сборки" многогранника Штеффена. Возможно, что девять - это наименьшее число вершин у изгибаемых несамопересекающихся многогранников.





Это интересно!

Полезные ссылки