Каталог книг:


Взгляд на математику и нечто из нее - Содержание - Теорема Пифагора и пифагоровы тройки (продолжение)

Теорема Пифагора и пифагоровы тройки (продолжение)

Сперва несколько простых замечаний, которые предшествуют и обычному доказательству. Если x, y и z имеют общий делитель k>1, скажем x=ku, y=kv, z=kw, где u, v, w - натуральные числа, то ясно, что тройка (u,v,w) снова является решением (1). Обратно, если мы знаем какое-то решение (x,y,z), то, умножив эти три числа на какое-нибудь натуральное k, мы снова получим решение. Поэтому можно ограничиться разысканием решений, не имеющих общего делителя. В данный момент речь идет об общем делителе всех трех чисел. Но если бы у двух из этих чисел, скажем у x и y, был общий делитель, то тот же делитель был бы и у третьего. Поэтому мы можем ограничиться разысканием решений, в которых любые два числа (x и y, x и z, y и z) не имеют общих делителей, больших 1. Это выражают словами: рассматриваемые числа x, y, z попарно взаимно просты.

При l ≠1 числа x, y, z в (2) не взаимно просты: они имеют общий делитель l. Так что если мы интересуемся только взаимно простыми x, y, z, то для них в (2) должно быть l=1, и утверждение, которое мы хотим доказать, несколько упрощается: натуральные решения (x,y,z) уравнения (1) с взаимно простыми x, y, z с точностью до перестановки x и y представимы в виде

x=m2-n2,   y=2mn,  z=m2+n2,  (3)

где m, n - натуральные числа и m>n. Заметьте, что я вовсе не утверждаю обратного: что любые (x,y,z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, являются решением (1) и попарно взаимно просты. Решением эта тройка будет, но числа x, y, z не обязательно получатся взаимно простыми. Ведь если у m и n есть общий делитель, то он войдет (даже с квадратом) и в x, и в y, и в z.

Так что если бы я хотел настаивать на обратном утверждении, что любые (x,y,z), получающиеся согласно (3) с натуральными m>n, будут решением (1) с попарно взаимно простыми x, y, z, то я, самое меньшее, должен был бы уточнить: с взаимно простыми m и n. А было бы такого уточнения достаточно? Оказывается, нет (вначале, должен сознаться, я было подумал, что да, но меня поправили). Ведь если m и n оба нечетные, то x получится четным, а y в (3) всегда четное. Но если одно из чисел m, n четное, а другое нечетное, то x получится нечетным, и общим с y у него мог бы быть только нечетный делитель. Тогда у x и y имеется и нечетный простой делитель p. Раз 2mn делится на p, то m или n делится на p, а тогда, раз m2-n2 тоже делится на p, то и второе из чисел m, n делится на p, т. е. m и n не взаимно просты, а мы уже решили, что будем брать только взаимно простые m, n. Но главное, что этого нам сейчас не нужно. Нам надо только установить, что решение (1) с взаимно простыми натуральными x, y, z обязательно представимо в виде (3) с какими-то m, n, а что при каких-то других m, n могут получиться решения с не взаимно простыми x, y, z - это нас сейчас не касается.

Другое замечание состоит в том, что когда мы ограничиваемся решениями с попарно взаимно простыми x, y, z, то одно из чисел x и y должно быть четным, а другое - нечетным; z при этом, конечно, нечетно. Действительно, если x и y оба четные, то они не взаимно просты, а имеют общий делитель 2. Если же они оба нечетны, то мы можем написать, что x=2r-1, y=2s-1 с некоторыми натуральными r, s. Отсюда

z2=(2r-1)2+(2s-1)2=4(r2-r+s2-s)+2.

Получается, что z2 делится на 2, но не делится на 4. Но это невозможно: если z нечетно, то z2 и на 2 не делится, а если z четно, тоz2 делится на 4.

Раз одно из чисел x и y четно, а другое нечетно, то можно считать, что нечетно x, а четно y, - в противном случае мы просто изменим обозначения. Вот теперь начинается главное. Перепишем (1) так:

y2=z2-x2, 2-2=1

или, обозначая через u и через v, в виде u2-v2=1, т. е. (u+v)(u-v)=1. u и v суть частные двух натуральных чисел, т. е. положительные рациональные числа (дроби). u+v тоже рациональное число, причем положительное. Любое такое число представляется в виде несократимой дроби ; здесь m и n - натуральные числа, причем взаимно простые (раз дробь несократимая). А если (u-v)=1, то u-v=. Итак,

  (4)

m2+n2 где m, n - взаимно простые натуральные числа. Рассматривая (как линейную систему уравнений относительно u, v, решим ее, для чего достаточно сложить эти два уравнения, откуда получится 2u, и вычесть второе из первого, откуда получится 2v:

=u=,    =v=.  (5)

Отсюда видно, кстати, что m>n.

Мы знаем, что и - несократимые дроби. Если бы мы знали, что дробь тоже несократимая, то из (5) сразу следовали бы соотношения (3). Но пока что мы этого не знаем; однако о дробях , мы знаем, что они несократимые. Поэтому из (5) мы вправе сделать заключение, несколько более слабое, чем (3): существует такое натуральное k, что

m2+n2=kz,   2mn=ky,   m2-n2=kx.  (6)

Допустим, что k имеет нечетный простой делитель p. Тогда 2mn делится на p, а раз это нечетное простое число, то m или n делится на p. Но тогда и одно из слагаемых в левой части равенства m2+n2=kz, и его правая часть делятся на p; выходит, что и второе слагаемое в левой части тоже делится на p. Получается, что и m, и n делятся на p, хотя они взаимно просты. Итак, у k нет нечетных простых делителей, так что k есть степень двойки. Вспомним, что y - четное число, y=2w. Получается, что 2mn=2kw, mn=kw, и если k - степень двойки (с ненулевым показателем), то число mn четное. Тогда хотя бы одно из чисел m, n - четное. Но из m2+n2=kz следует, что m2+n2 - четное число, и если вдобавок одно из чисел m или n - четное, то и другое должно быть четным. Снова у m и n нашелся общий делитель. Остается признать, что k=1, а это и означает (3).





Это интересно!

Полезные ссылки