Каталог книг:


Взгляд на математику и нечто из нее - Содержание - Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Теорема Пифагора и пифагоровы тройки

Пусть a, b - катеты прямоугольного треугольника, c - его гипотенуза. Построим квадрат ABCD со стороной a+b и возьмем на его сторонах AB, BC, CD, DA такие точки E, F, G, H соответственно, что AE=BF=CG=DH=a. Иными словами, от каждой из вершин A, B, C, D откладывается по отрезку длины a в направлении к следующей вершине; "следующей" значит "следующей в порядке ABCDA". Наш квадрат разбивается на четырехугольник EFGH и четыре прямоугольных треугольника EBF, FCG, GDH, HAE. У каждого из треугольников один катет равен a, а другой - b. Значит, все эти треугольники равны, так что, в частности, AEH = BFE. Гипотенуза равна c, а площадь треугольника есть ½ab. У четырехугольника EFGH длина каждой стороны равна c, так что это ромб. Кроме того, все его углы прямые. Например, HEF= AEB- BEF- AEH=180°- BEF- BFE= EBF=90°. Итак, EFGH - квадрат со стороной c, так что его площадь равна c2. Но сумма его площади и площадей четырех треугольников равна площади исходного большого квадрата, т. е. c2+4*½ab=(a+b)2. Левая часть равна c2+2ab, а правая - a2+2ab+b2, откуда и видно, что c2=a2+b2. Мы использовали алгебраическую символику, которой в Вавилоне не было, но вавилонские математики умели проделывать все, что здесь требуется, иначе, хотя это и было более громоздко.

Это самое простое и легко запоминающееся доказательство теоремы Пифагора, какое я видел. Теперь его часто используют в школе. Но если вы посмотрите учебники, которые были приняты как основные в течение длительного времени, то вы там его не найдете. Почему? Неужели их авторы, люди вполне сведущие и умные, не знали этого рассуждения, известного уже несколько тысяч лет, или не понимали, что оно понятнее, проще, лучше запоминается, чем другие? Позднее я скажу, в чем, по-моему, здесь дело.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача. Имеются такие тройки натуральных (т. е. целых положительных) чисел x, y, z, что

x2 + y2 = z2.  (1)

Их называют пифагоровыми тройками. Например, годятся числа x=3, y=4, z=5: 9+16=25. Это пример. А можно ли указать все пифагоровы тройки (x,y,z)? Иными словами, можно ли найти все решения уравнения x2+y2=z2 в натуральных числах? (В связи с терминологией обратите внимание, что решение - это не одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение можно представить в виде

x=l(m2-n2),   y=2lmn,  z=l(m2+n2),  (2)

где l, m, n - натуральные числа, причем m>n, или в аналогичном виде, в котором x и y меняются местами. Можно чуть короче сказать, что x, y, z из (2) со всевозможными натуральными l и m > n суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки x и y. Например, тройка (3,4,5) получается при l=1, m=2, n=1.

То что при любых натуральных l, m, n с m>n тройка (x,y,z), определяемая согласно (2), является решением (1), можно проверить непосредственно путем простого вычисления, и я на этом останавливаться не буду. Интересно другое: почему любое решение обязательно имеет вид (2)? Об этом я и буду говорить. На самом деле, как это часто бывает, "прокручивая в обратную сторону" мои рассуждения, тоже можно доказать, что любая тройка вида (2) является решением, но на этом я тоже не буду останавливаться. Что при перестановке x и y снова получается решение - об этом и говорить нечего.

По-видимому, вавилоняне знали этот ответ, но как они к нему пришли - неизвестно. (Впрочем, не ясно, знали ли они, что все решения (1) представимы в виде (2), да и задавались ли они таким вопросом. Имеется правдоподобная, хотя и гипотетическая, реконструкция их рассуждений, в которой этим вопросом не задаются, а ищут способ как-нибудь получить побольше решений.) Как его позднее доказывали древние греки - известно; по существу, их доказательство в модернизированном виде (с явным использованием алгебры) воспроизводится во многих книгах, и, вероятно, многие из вас его знают. А я хочу рассказать несколько более простое доказательство, которое я узнал в свои студенческие годы от моего однокурсника Юры Манина. Ныне Юрий Иванович Манин - член-корреспондент Российской академии наук, лауреат Ленинской премии, один из директоров международного Математического института им. Макса Планка в Бонне. Ни одного из этих высоких титулов вроде бы не нужно, чтобы придумать то простое рассуждение, которое я сейчас расскажу; в истории неоднократно бывало, что любители придумывали куда более затейливые вещи. Тем не менее, я нигде в литературе не встречал этого рассуждения. Впрочем, не могу поручиться, что его нигде нет или что никто, кроме Манина, такого доказательства не мог придумать. Так что не исключено, что кто-нибудь из вас это рассуждение знает. Но уж точно, что таких среди вас не может быть много - рассуждение если и является известным, то не общеизвестным.





Это интересно!

Полезные ссылки