Каталог книг:


Взгляд на математику и нечто из нее - Содержание - Внутренние математические проблемы (продолжение)

Внутренние математические проблемы (продолжение)

Доклад Гильберта содержит сравнительно небольшую первую часть, где Гильберт в общих чертах говорил о значении конкретных проблем для развития математики, и наиболее знаменитую вторую часть, где он привел ряд таких проблем с небольшими комментариями. Переходя к формулировке конкретных проблем, Гильберт сказал: "Разрешите мне в дальнейшем, как бы на пробу, назвать несколько определенных проблем из различных математических дисциплин, проблем, исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки". А заканчивая, он сказал, что "названные проблемы - это только образцы проблем". Он не претендовал на составление всеобъемлющего списка проблем, которые можно было бы указать в то время. В основном он говорил о вопросах, которые были близки к его собственным научным интересам, так что он мог оценить их важность и сделать по их поводу содержательные замечания. Но благодаря свойственной Гильберту широте научных интересов его проблемы затрагивали значительную часть математики. В нескольких случаях Гильберт напоминал о проблемах, поставленных ранее другими людьми, но, например, о проблемах, сформулированных Пуанкаре в далеких от Гильберта разделах математики, он не говорил. Это понятно: Пуанкаре был жив и здоров, он мог сам формулировать и комментировать свои проблемы, да, собственно, он это и делал, только эти его проблемы и замечания разбросаны по его работам, а вместе он их не собирал. Но гильбертовские "образцы" оказались удивительно удачными. Они оказали большое стимулирующее влияние на развитие математики в XX веке.

Надо оговориться, что некоторые из проблем Гильберта относились скорее к разработке систематических теорий, они звучали примерно так: "Исследовать такие-то вопросы с такой-то точки зрения". Но большинство проблем - это были вполне конкретные вопросы, на которые требовалось ответить "да" или "нет". Как правило, если бы вы от какого-нибудь оракула узнали правильный ответ, большой пользы от этого не было бы, но для того, чтобы получить ответ своими силами, без подсказки оракула, потребовалось придумать много нового и интересного. Об этом я, конечно, не могу здесь говорить, прошу поверить на слово. Я приведу только один пример конкретной проблемы: является ли число рациональным или иррациональным? На самом деле соответствующая проблема (7-я проблема Гильберта) была поставлена в общем виде1, но сам Гильберт считал вопрос о , так сказать, наиболее показательным. Когда ему случалось упоминать впоследствии о 7-й проблеме, он обычно спрашивал именно о .

Повторяю, что Гильберт очень удачно выбрал свои "образцы", нисколько не ошибившись в оценке их важности. А вот в оценке их сравнительной сложности он иногда существенно ошибался. Здесь стоит сказать, как он оценивал сложность трех проблем, связанных с теорией чисел. Речь будет идти об иррациональности и вообще о 7-й проблеме, гипотезе Ферма (она в список проблем Гильберта не попала, скорее всего потому, что о ней все и так помнили, но он упоминал ее во вступительной части) и о гипотезе Римана, которую я даже не буду формулировать (она составляет основную часть 8-й проблемы Гильберта). В его биографии сообщается, что позднее Гильберт однажды так оценил их относительную трудность. Гипотеза Римана будет доказана еще при его жизни (а он был уже не молод). Доживет ли сам Гильберт до доказательства теоремы Ферма, по меньшей мере сомнительно, но самые молодые из присутствующих доживут. Но даже им не суждено узнать, как выяснится вопрос о .

Вышло все наоборот. Иррациональность была доказана еще за 14 лет до смерти Гильберта, в 1930 году. Это сделал Р.О.Кузьмин, но он продолжал работу, начатую А.О.Гельфондом годом раньше, когда Гельфонду удалось сделать первый и чрезвычайно существенный шаг в решении 7-й проблемы Гильберта (в этой первой работе речь шла не об иррациональности чисел типа , а об иррациональности чисел из некоторого другого класса). Окончательный общий результат по 7-й проблеме был получен в 1934 году А.О.Гельфондом и Т.Шнайдером. Гипотеза Ферма была доказана несколько лет назад; в принципе, кто-нибудь из тех, кто слышал предсказание Гильберта в свои студенческие годы, мог до этого дожить, но уж наверняка таких совсем немного. Гипотеза Римана по сей день не доказана и, надо думать, ее XX век передаст XXI, даже если считать, что последний начнется не с 2000 года, а с 2001-го. Мне кажется, эта ошибка гения убедительно свидетельствует, что он действительно удачно выбрал трудные задачи.

Почти все задачи Гильберта теперь решены, правда, некоторые - не полностью. Все же в основном XX век с этими задачами справился. А Гильберт в какой-то степени сумел заглянуть вперед на 100 лет! В большинстве случаев ответ оказался таким, как он и ожидал, хотя есть несколько исключений.


1Приведу необходимые пояснения. Алгебраическим называется число, являющееся корнем алгебраического уравнения anxn+...+a1x+a0=0 с целыми коэффициентами ai. Алгебраическое число может быть как рациональным, так и иррациональным. Иррациональное число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. О существовании трансцендентных чисел подозревали еще в XVIII веке, но первое трансцендентное число указал Ж.Лиувилль в 1844 году. В 1873 году Ш.Эрмит доказал трансцендентность играющего большую роль в анализе числа e, а в 1882 году Ф.Линдеман, развивая метод Эрмита, установил трансцендентность еще более знаменитого числа . На какое-то время на этом успехи прекратились. 7-я проблема Гильберта гласила: пусть a - алгебраическое число, отличное от 0 и 1, b - алгебраическое иррациональное число; не будет ли число ab трансцендентным? Должен добавить (но объяснять этого уже не буду), что числа a, b здесь могут быть комплексными.





Это интересно!

Полезные ссылки