Каталог книг:


Взгляд на математику и нечто из нее - Содержание - Внутренние математические проблемы

Внутренние математические проблемы

Я говорил о построении систематических теорий. Вы знаете две такие теории: геометрию и арифметику вместе с алгеброй (в пределах школьного курса последние две на самом деле составляют единое целое). Но в математике много различных систематически построенных теорий с различными предметами исследования и различной степени общности. Те из вас, которые учатся в спецшколах или спецклассах физико-математического направления, возможно, знают, что алгебра как бы "отсоединяется" от арифметического материала и в таком виде может применяться к совсем иным объектам.

Но если говорить о внутреннем развитии математики, не вызванном ее приложениями (по крайней мере, не вызванном непосредственно), то есть и другая сторона дела - решение различных проблем. Вы представляете себе задачи, которые вам предлагают на математических олимпиадах и аналогичных соревнованиях. На их решение дается несколько часов, во время которых приходится работать весьма интенсивно. Много лет назад член-корреспондент Академии наук СССР Б.Н.Делоне, выступая перед школьниками на закрытии математической олимпиады, сказал, что творчество ученого-математика отличается от труда участника олимпиады только тем, что для решения олимпиадной задачи требуется примерно час времени, а для решения настоящей глубокой математической проблемы требуется 5,000 часов. Если работать по 12 часов в день, то получится примерно год. Можно работать и больше 12 часов, но долго так не выдержишь. Однако А.Н.Колмогоров, академик и один из самых крупных математиков XX века, в России, возможно, даже самый крупный, говорил, что у него этих 5,000 часов никогда не было. Сперва он говорил всего о трех сутках, потом увеличил срок до двух недель. Конечно, у него в эти дни интенсивность была исключительно высокой и он думал о своей задаче все время, когда не спал, да, вероятно, какая-то подсознательная работа продолжалась и во сне; в итоге можно набрать примерно 400 часов (15*24=360), что примерно в 10 раз меньше чем 5,000. А вот не было ли у него продолжительной подсознательной работы в то время, когда он о соответствующей задаче вроде бы не думал, т. е. сознательно ею не занимался? Но, насколько я представляю себе Колмогорова, столько часов, сколько полагается по Делоне, все равно не получится. Между тем Колмогоров как раз выделялся числом решенных им крупных научных задач.

С другой стороны, полученное недавно доказательство знаменитой гипотезы Ферма 350-летней давности1 потребовало намного больше 5,000 часов. Окончательное решение было получено Э.Уайлсом, и у него это, действительно, заняло порядка 5,000 часов, но ведь он завершал работу ряда других людей, и с учетом затраты их времени получится едва ли менее 50,000 часов. Но это, конечно, крайний случай.

Есть и еще одно существенное отличие научных задач от олимпиадных. Олимпиадные задачи должны решаться на основе тех знаний, той систематической теории, которые имеются у учеников соответствующего возраста. Решение научной задачи может требовать новых знаний, которых в данный момент ни у кого нет. В ходе ее решения придется разработать какую-то новую теорию, которая затем может пригодиться и для других целей.

Таким образом, развитие математики связано с тремя факторами: ее приложениями (не обязательно в смысле удовлетворения сиюминутных практических потребностей, но также и в смысле использования математики в других науках); решением научных проблем; систематической разработкой новых теорий. Вы, вероятно, знаете, что уже 100 лет регулярно проводятся Международные математические конгрессы. Так вот, при самом их начале, на первом и втором конгрессах, состоялись доклады крупнейших математиков того времени - А.Пуанкаре и Д.Гильберта, - посвященные двум первым компонентам развития математики - вопросам, связанным с физикой (в то время значение других приложений для развития самой математики было значительно меньше, чем значение физики, да и сейчас она в этом отношении лидирует, хотя и не в такой степени), и проблемам, возникающим в самой математике. Докладов о третьей компоненте - развитии теорий, насколько я знаю, не было ни тогда, ни позднее. Быть может, потому, что не нашлось третьего математика такого ранга, как Пуанкаре и Гильберт, или потому, что наличие этой третьей компоненты очевидно?

Несколько слов в связи с докладом Гильберта. Сперва исторический нюанс: он был как бы спровоцирован докладом Пуанкаре: Гильберт захотел показать, что важнейшие стимулы для развития математики имеются внутри ее самой. Но, работая над докладом, он несколько поостыл - ведь, в конце концов, Пуанкаре вовсе не утверждал, будто новые задачи возникают только из физики, не говоря уже о том, что заподозрить Пуанкаре в таком одностороннем взгляде было бы нелепо, его творческая деятельность убедительно демонстрировала иное. Никакой полемики с Пуанкаре не произошло.


1Вероятно, ее формулировка вам известна, но я все-таки напомню: гипотеза состоит в том, что при n>2 уравнение xn+yn=zn не имеет решений в натуральных числах, т. е. что ни для каких трех натуральных чисел x, y, z последнее равенство не выполняется. Ферма сформулировал это утверждение не как гипотезу, а как известный ему факт; он это сделал в замечании на полях книги древнегреческого математика Диофанта, добавив, что на полях слишком мало места для доказательства. Поэтому данная гипотеза получила название "Великая теорема Ферма", хотя теперь едва ли кто-нибудь верит, что у Ферма действительно было полное доказательство.





Это интересно!

Полезные ссылки