Каталог книг:


Взгляд на математику и нечто из нее - Содержание - О дедуктивном построении математики (продолжение 2)

О дедуктивном построении математики (продолжение 2)

Я хочу еще немного остановиться на различии между числами и будильниками. Что различия имеются, это понятно даже людям, которые от математики далеки: им кажется, что математические объекты скорее напоминают снотворное. Но то различие между математическими объектами и будильниками, о котором я сейчас скажу, может показаться неожиданным. Рассмотрим пародию на арифметику, в которой "ареной действия" является множество2 M натуральных чисел вида 4k+1 с целыми k0. Других чисел, кроме таких, для нас сейчас как бы не существует. Множество M, как говорят, замкнуто относительно умножения - это значит, что произведение любых двух его элементов снова принадлежит M. Действительно, сразу проверяется, что произведение двух чисел вида 4k+1 снова имеет вид 4k+1. Некоторые числа из M являются произведениями чисел из M, ни одно из которых не является единицей. Другие числа нельзя представить в таком виде; их естественно называть неразложимыми. Почти сразу же очевидно, что 9 - неразложимое число. (В M имеется всего одно число, отличное от 1, которое меньше 9, - это 5. Но 9 не делится на 5.) Проверим, что 49 тоже неразложимое число. В противном случае мы имели бы

49=(4a+1)(4b+1)=16ab+4(a+b)+1

с некоторыми натуральными a, b; отсюда

48=16ab+4(a+b),   12=4ab+(a+b)>4ab,  3>ab,

что возможно, лишь когда оба натуральных числа a, b равны 1 или когда одно из них равно 1, другое равно 2. Соответствующие произведения были бы 5* 5 или 5* 9; ни в том, ни в другом случае не получается 49. Аналогично доказывается неразложимость 21. С другой стороны, каждое разложимое число из M разлагается в произведение неразложимых чисел (последние, таким образом, играют в нашей пародийной "системе чисел" M такую же роль, какую играют простые числа среди всех натуральных чисел). Действительно, если m M - разложимое число, то m=kl с некоторыми k, l M, причем k<m, l<m. Если оба числа k, l неразложимы, то m уже представлено в требуемом виде; если одно из них или они оба разложимы, то разложим его (их) на множители, и т. д. При этом рассматриваемые числа все время уменьшаются, так что рано или поздно этот процесс должен остановиться и мы получим разложение m на неразложимые множители. Это рассуждение - точно такое же, каким доказывается, что любое составное натуральное число разлагается в произведение простых чисел; в этом отношении наша пародийная арифметика не отличается от обычной. А вот в каком она отличается:

441=212=9* 49,

причем 21, 9 и 49 - неразложимые элементы M. Выходит, что "будильник" 441 можно разобрать на два одинаковых "колесика" 21, а можно - на другие "колесики" 9 и 49.

Вы, вероятно, знаете доказательство иррациональности . А вот используя однозначность разложения на простые множители, ничего не стоит доказать в два слова, что если натуральное число m не является k-й степенью никакого натурального числа, то - иррациональное число. Попробуйте сделать это! Вы увидите, насколько расширятся ваши возможности при использовании теоремы об однозначности разложения на простые множители - теоремы, упоминание о которой может показаться занудным педантизмом. Так что, с одной стороны, я уже сказал, что за все приходится платить, но, с другой стороны, платить есть за что.

Говоря о построении математики как систематической науки, хочу отметить, что дедуктивное и систематическое построение - это не одно и то же. В школе арифметика и алгебра излагаются, конечно, систематически, но нет и речи о том, чтобы их выводить дедуктивно из аксиом. А о геометрии по крайней мере объясняют, что ее в принципе можно строить дедуктивно, и поясняют это на примерах, так сказать, каких-то фрагментов геометрии. На самом деле дедуктивно можно построить не только геометрию, но, оставаясь в пределах школьного материала, и алгебру, и арифметику. Я приведу сейчас те аксиомы, на которых основана арифметика - так называемые аксиомы Пеано. Сформулировал их примерно век назад итальянский математик Дж. Пеано. Такая поздняя формулировка аксиом арифметики - своего рода исторический парадокс.

В этих аксиомах речь идет только о натуральных числах. Множество натуральных чисел обычно обозначают через . Это своего рода стандарт. Обычная латинская буква N может обозначать что угодно, а вот - это обязательно множество натуральных чисел.

Среди натуральных чисел имеется одно особенное, которое выделяется с самого начала, - так называемая единица, обозначаемая через 1. На самом деле это, конечно, та самая единица, которую вы все хорошо знаете, но в данный момент это просто какое-то специальное натуральное число, о котором кое-что будет сказано в аксиомах. Далее, в множестве натуральных чисел имеются различные операции, которые вы знаете: сложение, умножение, а в известных случаях там определено также вычитание и деление. Но если бы мы захотели перечислить в виде аксиом основные свойства этих операций, формулировка получилась бы слишком длинной. Пеано заметил, что можно воспользоваться одной-единственной операцией, с которой вы познакомились еще раньше, чем научились складывать, - с переходом к следующему числу. Когда ребенок считает "один, два, три, ...", он как раз называет вслед за одним числом то число, которое за ним следует в ряду натуральных чисел. Освоившись со сложением, вы поняли, что число, следующее за x, - это x+1, и поэтому операция перехода к следующему числу как бы отступила на второй план, став частным случаем сложения. Теперь нам предлагается как бы вернуться в детство и временно забыть о сложении, а считать основной исходной операцией операцию перехода к следующему числу. Конечно, раз пока нет сложения, то нехорошо обозначать число, следующее за x, через x+1. Но как-то его обозначить надо, хотя в детстве мы обходились без всяких обозначений. Обозначим его через x'. Итак, у нас имеется некое множество , называемое "множеством натуральных чисел", в нем особо выделен некоторый элемент 1 ("единица") и введена операция (отображение, функция), сопоставляющая каждому x некоторое число x' ("число, следующее за x"). При этом выполняются следующие аксиомы:

1. Единица не следует ни за каким натуральным числом, т. е. при всех x обязательно 1 ≠ x'.

2. Если x'=y', то x=y. Можно сказать, что отображение -> , при котором каждое x переходит в x', никогда не переводит различные числа в одно.

3. Самая сложная аксиома - аксиома индукции. Пусть M - такое подмножество, что

а) 1 M (M содержит единицу);

б) если x M, то и x' M (вместе с каждым числом M содержит также и следующее за ним число).

Тогда M=.

Вот и все. Гораздо короче и проще, чем аксиомы геометрии. И на такой, казалось бы, скудной основе можно построить всю арифметику! Определить сложение и другие арифметические действия над числами, ввести отрицательные, рациональные, иррациональные и комплексные числа, доказать основные правила действий... Но ясно, что это не может быть сделано в два слова. Надо пройти путь примерно такой же длины, как в геометрии, пока доберешься, скажем, до олимпиадных задач. В общеобразовательной школе этого, конечно, нет и никогда не будет.

Тут есть еще одно обстоятельство, о котором надо сказать. Арифметика ведь строится не только на базе этих трех аксиом. При этом используется логика - как же иначе? И используются кое-какие сведения о множествах - множества ведь фигурируют в наших исходных формулировках. Между прочим, и логику, и требуемые сведения о множествах тоже можно изложить аксиоматически, но это будет уже посложнее аксиом Пеано.


2Ниже это слово встречается несколько раз. Вероятно, оно вам уже знакомо, но я все же напомню, что множество - это совокупность (система, класс, собрание, коллекция) каких-нибудь объектов (не обязательно чисел). Наглядно можно представить себе, что эти объекты как бы сложены в мешок, причем он прозрачный: мы как бы "видим" сложенные в мешок предметы и можем говорить не только о мешке как о некоем едином целом, но и о его содержимом. Примеры: множество натуральных чисел, множество слушателей в аудитории. В отличие от употребления слова "множество" в обычном языке, в математике при его употреблении вовсе не имеют в виду, что в множество входит много объектов. Если объект a входит в множество A, то говорят, что a является элементом A, a принадлежит A, и пишут a A. Подмножество множества A - это такое множество B, все элементы которого принадлежат A, т.е., так сказать, B - "часть" A (только слово "часть" здесь употребляется в расширенном смысле: не исключено, что B=A). Например, множество четных натуральных чисел - подмножество множества всех натуральных чисел. Вместо того чтобы говорить словами "B - подмножество A", пишут B A.





Это интересно!

Полезные ссылки