Каталог книг:


Взгляд на математику и нечто из нее - Содержание - О дедуктивном построении математики (продолжение 1)

О дедуктивном построении математики (продолжение 1)

Замечание: раз уж я об этом заговорил, то остановлюсь на том доказательстве теоремы Пифагора, которое раньше в школе было, так сказать, основным. Оно не обращается к площадям, а основано на простом геометрическом построении и подобии возникающих при этом треугольников. Опустим в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в вершине C высоту CH на гипотенузу AB=c. Основание H высоты разбивает гипотенузу на отрезки AH=d и BH=e. Как легко видеть, получаются пары подобных треугольников ACB и AHC, BCA и BHC. Например, ACB= AHC (оба эти угла прямые) и BAC= CAH (это же один и тот же угол). Отсюда

=,   =,

а следовательно a2=ce, b2=cd. Вот и получается, что

a2+b2=c(d+e)=c2.

Это ничуть не длиннее вавилонского доказательства. Но - не знаю, по каким психологическим причинам, - вавилонское доказательство воспринимается и запоминается легче.

Между прочим, приведенное выше простое доказательство формулы (2) для натуральных решений уравнения (1) тоже содержит некий деликатный момент. До (6) не к чему придраться1. А вот когда от (6) мы переходим к (3), мы используем следующее соображение: если квадрат некоторого натурального числа, скажем m2, делится на некоторое простое число p, то и само это число, т. е. m, тоже делится на p. Причем мы используем его дважды: один раз - для нечетного p, второй - для p=2.

Для p=2 доказательство данного утверждения тривиально (если бы m было нечетным, оно представлялось бы в виде 2l - 1, откуда m2=4l2-4l+1 - нечетное число). А вот для неизвестного нам заранее (т. е., можно сказать, произвольного) p доказательство требует иных соображений. Известно и легко доказывается, что любое натуральное число m>1 разлагается в произведение простых чисел:

m=*...*   (7)
(pi - простые, pi≠ pj при i ≠ j, ki - натуральные). Тогда, конечно,
m2=*...*,    (8)

и все, что нам надо, - это знать, что если m2 делится на простое число p, то p совпадает с одним из pi. По существу, здесь не важно, что в (8) все показатели 2ki являются четными, так что если изменить обозначения, то речь идет о следующем утверждении: если простое число p делит число m, разложенное в произведение простых чисел согласно (7), то p совпадает с одним из pi. А последнее по существу означает, что разложить число m на простые множители можно только единственным способом.

Это кажется очевидным и, конечно, известно из арифметической практики. Коль скоро мы знаем, что 120=23* 3* 5, то 120 не делится на 7, равно как и не делится на 32= 9. И то, и другое легко проверить непосредственно. Вероятно, помимо эмпирической уверенности, возникающей из примеров, полусознательно работает еще такое "общее" соображение: разлагая число на простые множители, мы как бы разбираем его на неразбирающиеся далее составные части, а в повседневной жизни мы постоянно убеждаемся, что для одной и той же вещи совокупность ее составных частей всегда получается одной и той же. Скажем, если, разбирая будильник, мы получили какие-то зубчатые колесики, то не может случиться, что, разбирая другой раз точно такой же будильник, мы получим шестеренки другого размера или в другом количестве.

Но числа - не будильники, а опыт с конкретными числовыми примерами еще не доказывает общего утверждения, относящегося ко всем натуральным числам (хотя и может подкрепить уверенность в его справедливости). На самом деле утверждение о единственности разложения на простые сомножители справедливо, но его надо доказывать. Интересно, что первым осознал необходимость в том, чтобы это утверждение было ясно сформулировано и доказано, был великий немецкий математик К. Гаусс. Это произошло сравнительно поздно - около 200 лет назад, когда математика была уже достаточно развитой наукой.

Выдающийся немецкий математик Х. Хассе в одной из своих книг выражал в исторических замечаниях недоумение, почему у Евклида нет теоремы об однозначности разложения числа на простые множители, хотя у него есть теорема, что если произведение двух натуральных чисел делится на простое число p, то хотя бы одно из этих чисел делится на p. (Последнего нам было бы достаточно.) С нашей теперешней точки зрения, главное тем самым было сделано, и до однозначности разложения оставался только один шаг, уже не трудный. В доказательстве сформулированной теоремы (а значит, и в доказательстве однозначности разложения натурального числа на простые сомножители) не используется никакой "высокой науки", но оно не такое уж короткое; правда, попутно получаются еще кое-какие важные результаты. Позднее, уже за последний век, было придумано другое доказательство, более короткое, но не дающее ничего сверх доказываемого утверждения. Но и оно не такое уж короткое и простое; я сомневаюсь, чтобы в школе (исключая спецшколы или спецклассы) на него можно было тратить время. Но это относится к школе, а Евклида даже и более длинное рассуждение не испугало.

Хассе полагал, что древним грекам однозначность разложения на простые множители все-таки была известна. Иное мнение высказано в учебнике по теории чисел, написанном другим выдающимся ученым - английским математиком Г. Харди - совместно с его соотечественником Э. Райтом. Они указывают, что древнегреческий математик попросту был бы не в состоянии сформулировать теорему об однозначности разложения натурального числа на простые множители, потому что у него не было алгебраических обозначений. Ведь если я говорю, что "разложение на простые сомножители единственно", то это не полная формулировка, а скорее сокращенное название результата. А в чем же, собственно, он состоит? Вот в чем. Пусть в дополнение к (7) имеется еще одно разложение m на простые множители:

m=*...*

(qi - простые, qi≠ qj при i≠ j, li - натуральные). Тогда r=s, числа p1, ..., pr с точностью до порядка, в котором они пронумерованы, совпадают с q1, ..., qs и показатели при совпадающих простых сомножителях тоже совпадают: если pi=qj, то ki=lj. Попробуйте сформулировать (только сформулировать!) все это, не прибегая к буквенным обозначениям! А у Евклида, как указывают Харди и Райт, не было даже слова для обозначения произведения четырех и более множителей.


1Можно придраться точно таким же образом, как это будет сейчас сделано, к абзацу, начинающемуся со слов "Так что если бы я хотел настаивать на обратном утверждении". Но в том же абзаце объяснено, что дальнейшее не зависит от обсуждаемого в нем утверждения, так что с точки зрения полноты доказательства (2) этого абзаца не существует.





Это интересно!

Полезные ссылки