Каталог книг:


Проблемы Гильберта (100 лет спустя) - Содержание - Бесконечные множества

Бесконечные множества

Рассмотрим любое конечное множество и любое его собственное (непустое и не совпадающее с ним самим) подмножество. Тогда элементов в подмножестве меньше, чем в сам множестве, т. е. часть меньше целого.

Обладают ли бесконечные множества таким свойством? И может ли иметь смысл утверждение, что в одном бесконечном множестве "меньше" элементов, чем в другом, тоже бесконечном? Ведь про два бесконечных множества мы можем пока только сказать, эквивалентны они или нет. А существуют ли вообще неэквивалентные бесконечные множества?

Далее мы последовательно ответим на все эти вопросы. А для начала приведем забавную фантастическую историю из книги Н. Я. Виленкина "Рассказы о множествах".1Действие происходит в далеком будущем, когда жители разных галактик могут встречаться друг с другом. Поэтому для всех путешествующих по космосу построена огромная гостиница, протянувшаяся через несколько галактик.

В этой гостинице бесконечно много номеров (комнат), но, как и положено, все комнаты пронумерованы, и для любого натурального числа n есть комната с этим номером.

Однажды в этой гостинице проходил съезд космозоологов, в котором участвовали представители всех галактик. Так как галактик тоже бесконечное множество, все места в гостинице оказались занятыми. Но в это время к директору гостиницы приехал его друг и попросил поселить его в эту гостиницу.

"После некоторых размышлений директор обратился к администратору и сказал:

- Поселите его в № 1.

- Куда же я дену жильца этого номера? - удивленно спросил администратор.

- А его переселите в № 2. Жильца же из № 2 отправьте в № 3, из № 3 - в № 4 и т. д."

Вообще, пусть постоялец, живущий в номере k, переедет в номер k+1, как это показано на следующем рисунке:

Тогда у каждого снова будет свой номер, а № 1 освободится.

Таким образом, нового гостя удалось поселить - именно потому, что номеров в гостинице бесконечно много.

Первоначально участники съезда занимали все номера гостиницы, следовательно, между множеством космозоологов и множеством было установлено взаимно однозначное соответствие: каждому космозоологу дали по номеру, на двери которого написано соответствующее ему натуральное число. Естественно считать, что делегатов было "столько же", сколько имеется натуральных чисел. Но приехал еще один человек, его тоже поселили, и количество проживающих увеличилось на 1. Но их снова осталось "столько же", сколько и натуральных чисел: ведь все поместились в гостиницу! И если обозначить количество космозоологов через 02, то мы получим "тождество" 0=0+1. Ни для какого конечного 0 оно, разумеется, не выполнено.

Мы пришли к удивительному выводу: если к множеству, которое эквивалентно , добавить еще один элемент, получится множество, которое снова эквивалентно . Но ведь совершенно ясно, что делегаты-космозоологи представляют собой часть того множества людей, которые разместились в гостинице после приезда нового гостя. Значит, в этом случае часть не "меньше" целого, а "равна" целому!

Итак, из определения эквивалентности (которое не приводит ни к каким "странностям" в случае конечных множеств) следует, что часть бесконечного множества может быть эквивалентна всему множеству.

Возможно, что известный математик Больцано3, который пытался в своих рассуждениях применять принцип взаимно однозначного соответствия, испугался таких непривычных эффектов и поэтому не стал дальше развивать эту теорию. Она показалась ему совершенно абсурдной. Но Георг Кантор4 во второй половине XIX века вновь заинтересовался этим вопросом, стал исследовать его и создал теорию множеств, важный раздел оснований математики.

Продолжим наш рассказ про бесконечную гостиницу.

Новый постоялец "не удивился, когда на другое утро ему предложили переселиться в №1,000,000. Просто в гостиницу прибыли запоздавшие космозоологи из галактики ВСК-3472, и надо было разместить еще 999,999 жильцов".

Но потом произошла какая-то накладка, и в эту же самую гостиницу приехали на съезд филателисты5. Их тоже было бесконечное множество - по одному представителю от каждой галактики. Как же их всех разместить?

Эта задача оказалась весьма сложной. Но и в этом случае нашелся выход.

"В первую очередь администратор приказал переселить жильца из № 1 в № 2.

- А жильца из № 2 переселите в № 4, из № 3 - в № 6, вообще, из номера n - в номер 2n.

Теперь стал ясен его план: таким путем он освободил бесконечное множество нечетных номеров и мог расселять в них филателистов. В результате четные номера оказались занятыми космозоологами, а нечетные - филателистами... Филателист, стоявший в очереди n-м, занимал номер 2n-1". И снова всех удалось разместить в гостинице. Итак, еще более удивительный эффект: при объединении двух множеств, каждое из которых эквивалентно , вновь получается множество, эквивалентное . Т. e. даже при "удвоении" множества мы получаем множество, эквивалентное исходному!

Далее будем рассматривать только числовые множества - подмножества числовой прямой. Множество всех чисел на этой прямой, т. е. множество действительных чисел, обычно обозначают через .


1Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М.: Наука, 1965.

20 (читается: "алеф-нуль") - стандартное обозначение для мощности (числа элементов) множества .

3Бернард Больцано (1781-1848) - чешский математик.

4Георг Кантор (1845-1918) - немецкий математик.

5Коллекционеры почтовых марок.





Это интересно!

Полезные ссылки