Каталог книг:


Проблемы Гильберта (100 лет спустя) - Содержание - Эквивалентность множеств

Эквивалентность множеств

Рассмотрим следующий пример. В школе проходит вечер танцев. Как определить, кого больше на этом вечере: девочек или мальчиков?

Можно, конечно, пересчитать тех и других и сравнить два полученных числа. Но гораздо проще дать ответ, когда оркестр заиграет вальс и все танцующие разобьются на пары. Тогда, если все присутствующие танцуют, значит, каждому нашлась пара, т. е. мальчиков и девочек одинаковое количество. Если же остались только мальчики, значит, мальчиков больше, и наоборот.

Этот способ, иногда более естественный, чем непосредственный пересчет, называется принципом разбиения на пары, или принципом взаимно однозначного соответствия.

Рассмотрим теперь совокупность объектов произвольной природы - множество. Объекты, входящие в множество, называются его элементами. Если элемент x входит в множество X, это обозначают так: x X. Если множество X1 содержится в множестве X2, т. е. все элементы множества X1 являются также элементами X2, то говорят, что X1 - подмножество X2, и кратко записывают так: X1 X2.

Множество конечно, если в нем конечное число элементов. Множества могут быть как конечными (например, множество учеников в классе), так и бесконечными (например, - множество всех натуральных чисел 1,2,3,...). Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Пусть X и Y - два множества. Говорят, что между этими множествами установлено взаимно однозначное соответствие, если все элементы этих двух множеств разбиты на пары вида (x,y), где x X, y Y, причем каждый элемент из X и каждый элемент из Y участвует ровно в одной паре.

Пример, когда все девочки и мальчики на танцевальном вечере разбиваются на пары, и есть пример взаимно однозначного соответствия между множеством девочек и множеством мальчиков.

Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются эквивалентными или равномощными. Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда в них одинаковое количество элементов. Поэтому естественно считать, что если одно бесконечное множество эквивалентно другому, то в нем "столько же" элементов. Однако, опираясь на такое определение эквивалентности, можно получить весьма неожиданные свойства бесконечных множеств.





Это интересно!

Полезные ссылки