Каталог книг:


Проблемы Гильберта (100 лет спустя) - Содержание - Десятая проблема Гильберта: диофантовы уравнения

Десятая проблема Гильберта: диофантовы уравнения

Эта проблема также связана с теорией чисел. Еще древнегреческий математик Диофант пытался ответить на следующий вопрос:

Дано уравнение с целыми коффициентами. Имеет ли оно целые решения?

Приведем в качестве примера уравнение x2+y2=z2, обладающее замечательным свойством: если тройка натуральных чисел (x0,y0,z0) ему удовлетворяет (как, например, тройка (3,4,5)), то по теореме, обратной к теореме Пифагора, из отрезков длины x0, y0 и z0 можно сложить прямоугольный треугольник и, таким образом, построить прямой угол. Снова геометрическая задача решается методами теории чисел! Нетрудно описать все натуральные решения этого уравнения. Они имеют следующий вид:

x=(m2-n2)l,  y=2mnl, z=(m2+n2)l,

плюс решения, получающиеся перестановкой x и y (m, n и l - произвольные натуральные числа, n<m).

Естественным обобщением предыдущего уравнения является известное уравнение xn+yn=zn, n. Великая теорема Ферма утверждает, что это уравнение при n>2 не имеет решений в целых числах. Эта задача, которая, казалось бы, не очень сильно отличается от предыдущей, оказалась чудовищно трудной. На протяжении нескольких веков ее пытались решить математики самого высокого класса. Для ее решения пришлось построить исключительно сложный математический аппарат. И только несколько лет назад английский математик Эндрю Уайлс окончательно решил эту проблему и доказал Великую теорему Ферма.

Однако уже уравнение xn+yn=2zn, которое, на первый взгляд, сложнее теоремы Ферма, имеет при любом n целочисленные решения вида x=y=z=k, k.

Возникает естественный вопрос:

Нет ли какого-нибудь способа по виду уравнения, по его коэффициентам определять, имеет ли это уравнение решение в целых числах?

Иными словами, хотелось бы иметь общий алгоритм, с помощью которого можно было бы по любому уравнению выяснить, имеет ли оно целочисленное решение.

Это и есть десятая проблема Гильберта.

В 1970 году советский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что такого алгоритма, к сожалению, не существует.





Это интересно!

Полезные ссылки