Каталог книг:


Проблемы Гильберта (100 лет спустя) - Содержание - Одна теорема существования

Одна теорема существования

Когда-то, на заре своего существования, журнал "Квант" предложил своим читателям следующую задачу:

Пусть a и b - иррациональные числа. Может ли число ab быть рациональным?

Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число - трансцендентное (поскольку - алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому - иррациональное. С другой стороны,

()=* =2=2.

Итак, мы просто предъявили такие числа: a=, b=. Однако эта задача может быть решена и без каких-либо ссылок на результат Гельфонда. Среди читателей нашелся школьник, который не знал, что такое седьмая проблема Гильберта, но прислал поразительно красивое решение. Он рассуждал так: "Рассмотрим число . Если это число рациональное, то задача решена, такие a и b найдены. Если же оно иррациональное, то возьмем a=, b=, и ab=()=2".

Итак, этот школьник предъявил две пары чисел a и b, таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это элегантное решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.





Это интересно!

Полезные ссылки