Каталог книг:


Проблемы Гильберта (100 лет спустя) - Содержание - Седьмая проблема Гильберта. Иррациональные числа

Седьмая проблема Гильберта

Иррациональные числа

Вернемся к подмножествам числовой прямой. Рассмотрим снова цепочку

.

Мы уже доказали, что действительных чисел "больше" чем рациональных, потому что счетно, а - несчетно. Значит, существуют иррациональные (не являющиеся рациональными) действительные числа. (На самом деле, иррациональных чисел "намного больше" чем рациональных, и если случайным образом бросить точку на числовую прямую, она почти наверняка попадет в иррациональное число.)

Заметим, что мы доказали теорему существования иррациональных чисел, не предъявив ни одного иррационального числа.

Но совсем нетрудно привести и пример иррационального числа, например, это . Действительно, пусть это число рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

=,

где p и q - целые числа, не имеющие общих делителей (кроме 1). Возведя это равенство в квадрат, получим

2q2=p2.

Значит, p2 четно, p*p делится на 2. Поэтому p делится на 2, а значит, p2 делится на 4. (Если p=2p1, то p2=4p12.) Тогда

2q2=4p12,
q2=2p12.
Это означает, что q2 делится на 2, поэтому и q делится на 2.

Мы получили, что и p, и q делятся на 2, и дробь можно сократить на 2. Но мы же предполагали, что эта дробь несократима! Полученное противоречие означает, что 2 не может быть рациональным числом.

Итак, - число иррациональное.

Конечно, когда мы доказали иррациональность числа , мы тем самым еще раз доказали теорему существования иррациональных чисел. Однако существуют и такие классы чисел, доказать существование которых намного проще, чем построить конкретный пример.





Это интересно!

Полезные ссылки