Каталог книг:


Великие математики прошлого и их великие теоремы - Содержание - Эйлер и его формула (продолжение)

Эйлер и его формула (продолжение)

Теорема 3. e i=-1.

Доказательство. 3.1. При доказательстве мы будем использовать следующую формулу (она носит название бином Ньютона):


(a+b)
n=an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+... ...+Cnn-2a2bn-2+Cnn-1an-1b+bn,

где n — натуральное число, Cnk=.

3.2. Как известно,

e=(1+)n.

Применим формулу бинома Ньютона:

(1+)n=

(здесь мы выписали только несколько первых членов разложения).

Перейдем в обеих частях равенства к пределу при n и получим следующее разложение в ряд:

e=
Конечно, с точки зрения современного математика, этот предельный переход необходимо строго обосновать. Но во времена Эйлера к вопросу о правомерности преобразований подходили довольно свободно. Сам Эйлер в подобных случаях поступал очень смело и практически всегда оказывался прав.

Рассуждая аналогично, можно получить разложение

ex=(1+)n =1+++... =

Это разложение впервые было получено именно Эйлером, и в его честь число e получило свое обозначение: e есть первая буква фамилии Euler.

Функция ex обладает многими замечательными свойствами. В частности, все ее производные в точке 0 равны 1.

3.3. Воспользуемся формулой Тейлора

f(x)=f(0)+x +x2+x3+...,

чтобы разложить в ряд функции sin x и cos x.

Поскольку (sin x)' =cos x, (cos x)' =sin x,получаем, что

sin x=x-+-..., cos x =1-+-...

3.4. Гениальная идея Эйлера состоит в том, что формулу для ex можно применять не только к действительным, но и к комплексным числам:

ez=1+z+ ++ ++...,

где z — произвольное комплексное число.

Подставим в эту формулу z= i (где i — мнимая единица, т. е. i2=-1):

e i=1 + i+ ++++... =
=1 + i- -i + +i-...=
=(1- +-...)+ i( -+ -...)=
=cos +i sin =-1.

Теорема 3 доказана.

Позднее, когда появилась строгая теория рядов, подобные выводы, восходящие к Эйлеру, были подтверждены, а все преобразования признаны законными.





Это интересно!

Полезные ссылки