Каталог книг:


Великие математики прошлого и их великие теоремы - Содержание - Доказательство Лагранжа

Доказательство Лагранжа

Это доказательство опирается на следующую лемму Вильсона: если p - простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x, 2 ≤ x ≤ 11, найдется такое число y, 2 ≤ y ≤ 11, что x* y при делении на 13 дае в остатке 1. Действительно,

(13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12,

и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1, где n - натуральное число, то ((2n)!)2+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из слежующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=
=(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*...*(p-1)+1=
=(2n)!(-1)
2n(2n)!+pk+1 ≡ ((2n)!)2+1(mod p).
Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2≡ -1(mod p).

Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такие что 0 ≤ m ≤ [ ], 0≤ s≤ [], через [] обозначена целая часть числа - наибольшее целое число, не превосходящее . Число таких пар ([ ]+1)2>p. Значит, по крайней мере для двух различных пар (m1,s1) и (m2,s2) остатки от деления m1+Ns1 и m2+Ns2 на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m1-m2, b=s1-s2, будет делиться на p. При этом |a|≤[], |b| ≤[]. Но тогда число a2-N2 b2=(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N2≡ -1(mod p), получим, что a2+b2 делится на p, т. е. a2+b2=rp, где r - натуральное число (r≠, ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a2+b2≤ 2[]2<2p, т. е. r=1, и значит, a2+b2=p. Теорема 2 доказана.

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями. (См. [3, с. 45].)

Теорема Ферма-Эйлера очень красиво доказывается, если использовать теорию делимости целых комплексных чисел n+mi, n, m - целые (см. об этом в замечательной книге [4,с. 28-29]).





Это интересно!

Полезные ссылки