Каталог книг:


Великие математики прошлого и их великие теоремы - Содержание - Теорема 5

Теорема 5

Теорема 5. Правильный семнадцатиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки.

Приводимое доказательство — лишь незначительная обработка доказательства самого Гаусса.

Доказательство. 5.1. Для построения правильного семнадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, достаточно построить отрезок длины cos (см. рисунок ниже). Дальнейшая последовательность действий не вызывает трудностей. Однако для этого построения нам потребуются некоторые соотношения в комплексных числах.

5.2. Обозначим через один из комплексных корней семнадцатой степени из единицы:

==e2 i/17=cos+i sin.

Введем обозначения:

z1=+-1,

1=2+-2,

y1=z1+z2,

z2=4+-4,

2=8+-8,

y3=z1z2,

y2=1+2,

x1=y1+y2,

y4=12,

x2=y3+y4.

Заметим, что все эти числа действительные. В самом деле,

k+-k=(cos+i sin) +(cos - +i sin - )=2cos.
Поскольку z1=2cos, нам достаточно построить отрезок длины z1.

5.3. Лемма.k=17+k при целых k.

Доказательство леммы. Действительно,

17+k=cos+i sin=cos(2+)+i sin(2+)=
=cos+i sin=
k.

5.4. Лемма. k=0.

Доказательство леммы. По формуле суммы геометрической прогрессии (которая, конечно, верна и для комплексных чисел) получаем:

k= =0.

Следствие. k=-1.

Доказательство следствия. k = ( k) - 0=0 - 1= -1.

Следствие. (k+-k)=-1.

5.5. Лемма. y1y2 = y3y4 = -1.

Доказательство леммы.

y1y2=(+-1+4+-4) (2+-2+8+-8)=
=
3+-1+9+-7+ 1+-3+7+-9+ 6+
+
2+12+-4+ -2+-6+4+-12=
=(
k+-k)=-1.

Аналогичная выкладка показывает, что y3y4=-1.

5.6. Лемма.x1+x2= -1, x1x2= -4.

5.7. Напомним, что если заданы отрезки длины 1, |p|, и |q|, то циркулем и линейкой можно построить отрезки, длины которых равны абсолютной величине корней квадратного уравнения x2+px+q=0 (если корни этого уравнения действительны).

Поскольку x1+x2= -1, x1x2= -4, то по теореме Виета x1 и x2 — корни уравнения x2+x-4=0, а значит, мы можем построить отрезки длины |x1| и |x2|.

Теперь, так как y1+y2=x1 и y1y2= -1, можно построить отрезки длины |y1| и |y2|. Из равенств y3+y4=x2 и y3y4= -1 получаем отрезки длины |y3| и |y4|. И наконец, используя равенства z1+z2=y1 и z1z2=y3, мы можем построить отрезок длины z1, а следовательно, и правильный семнадцатиугольник.

Воспользовавшись этим рассуждением, можно получить следующее выражение для cos :

cos = -1+++
+ .

Впоследствии было доказано, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n=2k F1 F2*...* Fk, где все Fi — простые числа вида +1 (числа Ферма). У Ферма было подозрение, что все числа вида +1 — простые. Эйлер опроверг это утверждение, указав, что число

+1=4,294,967,297

имеет простым делителем 641. В наш компьютерный век стало возможным исследовать на простоту достаточно большие числа, но пока ни одного простого числа Ферма, кроме 5, 17, 257 и 65 537, не найдено.





Это интересно!

Полезные ссылки