Каталог книг:


Великие математики прошлого и их великие теоремы - Содержание - Теорема 4

Теорема 4

Теорема 4. Всякое натуральное число есть сумма четырех квадратов целых чисел.

Доказательство. 4.1. Лемма. Произведение чисел, представимых в виде суммы четырех квадратов, есть сумма четырех квадратов.

Доказательство леммы.

(n12+n22+n32+n42)(m12+m22+m32+m42)=
(n
1m1+n2m2+n3m3+n4m4)2+ (-n1m2+n2m1-n3m4+n4m3)2+
+ (-n
1m3+n3m1-n4m2+n2m4)2+ (-n1m4+n4m1-n2m3+n3m2)2.

Лемма 4.1 доказана.

4.2. Лемма. Для любого простого числа p>2найдется число m, m<p, такое что mp=a2+b2+c2, a, b, c.

Доказательство леммы. Рассмотрим два множества чисел:

K={0, 1, 4, ...,2},
L={-1-0, -1-1, -1-4, ..., -1-
2}.

В каждом из множеств числа попарно не сравнимы по модулю p. В самом деле, возьмем k12≠ k22 из множества K (или, эквивалентно, -1-k12≠ -1-k22 из множества L), где 0≤ k1, 0≤ k22. Если k12≡ k22(mod p), то (k1+k2)(k1-k2)≡ 0 (mod p). Но 0<k1+k2<p и 0<|k1-k2|<p, поскольку k1<p/2, k2<p/2 и k1≠ k2. Противоречие.

Всего в этих двух множествах p+1 чисел, следовательно, среди них найдутся сравнимые по модулю p, т. е. такие числа 2 из первого множества и 2 из второго, что

2≡ -1-2(mod p).

Откуда 2+2+1=mp для некоторого m.

Теперь, поскольку <p/2 и <p/2, получаем mp=2+2+1<p2/4+p2/4+1<p2, а значит, m<p. Лемма 4.2 доказана.

4.3. Докажем, что любое простое число представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Для p=2 имеем 2=12+12+02+02. Для p>2, по предыдущей лемме, найдется такое m<p, что число mp можно представить в виде mp=n12+n22+n32+n42 (n4 можно положить равным 0). Выберем теперь минимальное натуральное m, обладающее таким свойством. Покажем, что оно равно 1.

Пусть m четно. Тогда либо все ni имеют одинаковую четность, либо среди них есть два четных и два нечетных (нумерация этих чисел не важна, поэтому пусть n1≡ n2(mod 2), а n3≡ n4(mod 2). В обоих случаях числа

, , ,

являются целыми. Имеем:

2+2+2+2= =p,

значит, p также представляется в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Но <m, а m, по предположению, минимальное число с таким свойством. Противоречие.

Пусть m нечетно. Тогда числа niможно представить в виде ni=qim+mi (qi, mi), причем |mi|<. Тогда

mp=n12+n22+n32+n42=sm+m12+m22+m32+m42,
где s — некоторое целое число.

Следовательно, m12+m22+m32+m42=nm, где n -- неотрицательное целое число. Если n=0, то все mi=0, ni=qim, и тогда mp=n12+n22+n32+n42=m2k, где k -- натуральное, т. е. p=mk, m<p, а это означает, что m=1. Предположим теперь, что n ≥ 1.

Из леммы 4.1 получаем:

(n12+n22+n32+n42)(m12+m22+m32+m42)=s12+s22+s32+s42,

где

s1=n1m1+n2m2+n3m3+n4m4,
s
2=-n1m2+n2m1-n3m4+n4m3,
s
3=-n1m3+n3m1-n4m2+n2m4,
s
4=-n1m4+n4m1-n2m3+n3m2.

По определению, mini(mod m), т. е. s1≡ m12+m22+m32+m42≡ 0(mod m) и, значит, . Аналогично доказывается, что при i=2, 3, 4. Но тогда (в силу неравенств |mi|<) получаем: nm=m12+m22+m32+m42<m2, т. е. n<m, и в итоге

mp*nm=s12+s22+s32+s42,

откуда

np=2+2+2+2,

что противоречит минимальности m.

Итак, всякое простое число можно представить в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Тогда, по лемме 4.1, и любое составное число представимо в таком виде. Наконец,1=12+02+02+02. Теорема 4 доказана.

После теоремы Ферма—Эйлера мы описали все числа, представимые в виде суммы двух квадратов. Теорема Лагранжа утверждает, что все натуральные числа представимы в виде суммы четырех квадратов. Числа, представимые в виде суммы трех квадратов описал Гаусс в 1801 году. О нем — следующий рассказ.





Это интересно!

Полезные ссылки