В брошюре доказываются замечательные теоремы великих математиков прошлого - Архимеда (теорема об объеме шара), Ферма (теорема о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов натуральных чисел), Эйлера (равенство epi=-1), Лагранжа (теорема о представлении любого натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чисел) и Гаусса (теорема о построении циркулем и линейкой правильного семнадцатиугольника).
Знаменитые проблемы, сформулированные Давидом
Гильбертом на Парижском международном математическом конгрессе
1900-го года, оказали определяющее влияние на развитие математики XX
столетия. Одна из целей этой брошюры - показать, что многие
известные и достаточно сложные математические проблемы возникают вполне
естественным образом, так что даже старшеклассник может понять причины
появления этих проблем и их формулировки.
В брошюре рассказано о зарождении математики и ее дедуктивном построении. Рассмотрены два примера - теорема Пифагора и задача описания всех пифагоровых троек.
Текст данной брошюры, вышедшей в серии "Библиотека "Математическое просвещение"", представляет собой обработку записи лекции, прочитанной лауреатом Государственной премии СССР академиком РАН Д.В.Аносовым 5 декабря 1999 г. для участников III Международного математического турнира старшеклассников "Кубок памяти А.Н.Колмогорова" - школьников 8-11 классов.
Изогональное сопряжение относительно треугольника A1A2A3 сопоставляет точке X такую
точку Y, что прямая YAi симметрична прямой XAi относительно биссектрисы угла Ai (i=1, 2, 3). Это преобразование обладает многими интересными свойствами.
В частности, оно переводит друг в друга две замечательные точки треугольника - точки Брокара.
В брошюре, в частности, рассказывается об основных теоремах теории выпуклых многогранников. Это - теорема Коши о единственности выпуклого многогранника с заданными гранями и теорема Александрова о том, из каких разверток можно склеить выпуклый многогранник.
Взаимное влияние математики и ее приложений проиллюстрировано на примере задачи о мыльной пленке, затягивающей
проволочный контур. Приближенное решение этой задачи можно получить оригинальным способом, который, на первый взгляд, никак не связан с ее
постановкой, а именно методом моделирования случайных блужданий.
В брошюре рассказывается о том, что понимается под симметрией в современной математике и как идеи, связанные с симметрией, помогают решать самые разные задачи. В частности, объясняется, что такое группа преобразований и ее инвариант.